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Complexes et équations, le retour!

Posté par
lithium 05-10-09 à 17:38

Bonsoir!

J'aurai besoin d'un coup de pouce pour cet exo s'il vous plaît

1) Résoudre dans l'équation z3-1=0
2)On appelle j la solution complexe ayant ue partie imaginaire strictement positive.
a) Calculer 1+j+j²
b) Exprimer en fonction de 1, j ou j² et selon les valeurs de k:
# jk
# 1+j+j2k
c) Développer: (1+1)n, (1+j)n et (1+j²)n
d) En déduire que n,
\Bigsum_{0\le3p\le n} \(n\\3p\) = \fr{2^n + 2cos(\fr{n\pi}{3})}{3}

1) z=e^{i\fr{2k\pi}{3}}
2) a) J'ai recherché ce qu'était j et je trouve 0 pour la somme.

C'est à partir de là que ça bloque.
Pour la 2)c) il me semble avoir déjà vu la subtilité du (1+1)n avec Newton l'an dernier mais je ne parviens pas à la retrouver

Merci d'avance

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 17:40

Si c'est bon j'ai trouvé pour (1+1)n, tout bête...

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:12

Up

Posté par
carpediemre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:20

salut

développe proprement tes trois sommes à l'aide du binôme de Newton
écris les l'une en dessous de l'autre et additionne les

puis simplifie à l'aide de b)

faut probablement prendre la parties réelle ensuite....

Posté par
esta-fettere : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:23

Bonsoir!

J'aurai besoin d'un coup de pouce pour cet exo s'il vous plaît

Citation :
1) Résoudre dans l'équation z3-1=0

3 solutions : 1; j et \bar j
solutions de (x-1)(x²+x+1)=0.....


Citation :
2)On appelle j la solution complexe ayant ue partie imaginaire strictement positive.
a) Calculer 1+j+j²

la somme est 0
il y a plusieurs manières de le montrer....
mais comme j est solution de l'équation X²+X+1 on a j²+j+1=0 en remplaçant...

Citation :
b) Exprimer en fonction de 1, j ou j² et selon les valeurs de k:
# j^k
# 1+j+j^{2k}


on utilise le fait que j^3=1 donc que j^{3k}=1
si k = 3n, j^k=1
si k=3n+1, j^k=j
si k=3n+2, j^k=j^2

Citation :
c) Développer: (1+1)n, (1+j)n et (1+j²)n


4$ (1+1)^n= \Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\)1

4$ (1+j)^n= \Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\)j^k

4$ (1+j)^n= \Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\)j^{2k}

Citation :
d) En déduire que n,
4$ \Bigsum_{0\le3p\le n} \(n\\3p\) = \fr{2^n + 2cos(\fr{n\pi}{3})}{3}


on ajoute les 3 et il y a un truc....

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:23

Ok on va tenter ça (en fait je ne suis pas toute seule lol). Tu as des pistes pour la suite?

Merci bcp

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:26

OK, merci esta-fette.

Que désigne j dans ta réponse du 1)?

Posté par
carpediemre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:29

et moi ?

pas de merci  

j barre = conjugué de j....

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:32

Ben si, le premier merci était pour toi Il y a eu des posts-croisés, j'ai donné deux réponses.

Oui mais que désigne j, il n'est pas encore défini au début de l'exercice

Posté par
esta-fettere : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:35

j est la solution de l'équation z²+z+1=0 dont la partie imaginaire est positive:

c'est

4$ e^{i \times \frac {2\pi}{3}}= \frac {-1 + i \sqrt 3} 2

l'autre solution est 4$ j^2 = \bar j = e^{i \times \frac {4\pi}{3}}

Posté par
carpediemre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:37

j=exp(i/3) (racine cubique de l'unité non réelles, l'autre étant sont conjugué= son carré)

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:46

Aaaaaaah oui! Ouh je l'avais zappé celui-là...

Merci beaucoup (j'me disais qu'une seule solution c'était débile mais là je comprend)

Par contre pour la 2)d) j'ai additionné les 3 mais au bout d'un moment je bloque et je ne saisis pas la subtilité

Posté par
carpediemre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:48

il faut utiliser 2a) et b)....

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 18:51

Ben j'aurai les moyens de me servir de la b) mais je n'ai pas réussi à trouver 1+j+j2k

Posté par
esta-fettere : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 19:36


4$ (1+1)^n= \Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\)1

4$ (1+j)^n= \Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\)j^k

4$ (1+j)^{2)}^n= \Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\)j^{2k}
-------------------------------------------------------
                   \Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\) \( 1 + j^{k}+j^{2k} \)

Posté par
esta-fettere : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 19:39

additionner les 3, ça donne 0 = 0

il faut utiliser ce qu'on sait sur les puissances de j et j²
et ça se résout comme un système....

Posté par
carpediemre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 19:48

pas tout à fait mais (1+1)n2n

1+j=-j² et 1+j²=-j donc on peut simplifier le memdre de gauche

quant au membre de droite il faut distinguer k=3p+0,1,2.... et regarder ce qui reste...

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 19:59

Ok merci

Posté par
esta-fettere : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 20:03

merci Carpediem, j'avais pas fait attention.....

si on ajoute, il reste:


4$ (1+1)^n+ (1+j)^n+(1+j)^{2)}^n=\Bigsum_{0 \leq 3k \leq n} \(n\\3k\) \( 1 + j^{3k}+j^{6k}\)

donc

4$ 2^n- j^{2n}- j^^n=\Bigsum_{0 \leq 3k \leq n} \(n\\3k\) \( 1 + 1+1\)

il ne reste plus qu'à remplacer avec la valeur de j (exponentielle)

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 20:05

Ok, c'est bien ce que nous avions commencé à faire (à 5 cerveaux ça va vite)

Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 20:33

de rien

bravo à esta-fette qui a tout latexifié

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 22:02

Oui, f

Posté par
lithiumre : Complexes et équations, le retour! 05-10-09 à 22:03

Oui, il faut le faire

Merci


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