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Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2)

Posté par
miralem
07-10-09 à 18:44

Bonjour,

je dois résoudre l'équation :

        Z^5=-3.r(2)+3i.r(2)

Avec r(2) = racine de 2.

Je ne sait pas comment me débrouillé avec la puissance.
Merci de m'aider. c'est dans mon DS type et je me prépare. et je ne sais pas faire cela.

Merci d'avance.

Posté par
raymond Correcteur
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 18:51

Bonsoir.

Ecris le membre de droite sous forme exponentielle (met 6 en facteur).

Posté par
LeHibou
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 18:52

Bonjour,

Le mieux ici est de passer par la forme polaire de la partie droite :
-32 + 3i2 = 6(-2/2 + i2/2)
Le module est 6, et l'argument est tel que cos = -2/2 et sin = 2/2, donc = 3/4 + 2k, k
C

Posté par
LeHibou
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 18:53

Ca devrait te suffire pour terminer...

Bonjour raymond !

Posté par
miralem
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 19:38

J'etais arrivé jusqu'a la. ca c'etais bon mais apres je fais comment ?

je fait (re^i(teta)]5 = 6e^i3(pi)/4  ???

sa me donne r^5.e^i5(teta) ????

Je c'est pas quoi faire apres ? parceque r^5 =6 je c'est pas tro résoudre apart avec la racine 5eme mai c'est tres moche. doit y avoir une autre façon.

merci d'avance

Posté par
raymond Correcteur
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 19:54

Il n'y a pas d'autre solution :

3$\textrm z^5 = 6exp(\fra{3i\pi}{4}+2ik\pi) \Longrightarrow \ z = \sqrt[5]{6}exp(\fra{3i\pi}{20}+\fra{2ik\pi}{5})

Posté par
miralem
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 20:05

Ok merci beaucoup.
Sa me paraissait bizard mais si il n'y a pas d'autre solution sa veut dire que je sait mon cours ^^ sa fait plaisir ^^

comment tu fait pour mettre en image l'equation ?? y a un logiciel ?

Posté par
raymond Correcteur
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 20:10

Tu n'as encore pas terminé : cette équation admet cinq solutions que tu obtiendras pour k allant de 0 à 4.

Pour écrire ainsi, on utilise "LaTeX". Pour t'initier, clique sur en haut et à droite de la page.

Tu as aussi accès à de nombreux symboles en cliquant en dessous de ce cadre sur

Pour voir si tout va bien appuie sur "aperçu" avant de poster.

Posté par
miralem
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 20:14

Ok merci.

J'ai pas compris ton histoire avec les K

Posté par
miralem
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 20:18

Et pourquoi dans ton equation tu met + 2ik ?? ce serait pas plutôt +2k

Posté par
raymond Correcteur
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 20:44

Tout dépend si tu mets i en facteur ou non.

Posté par
miralem
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 21:20

A1h oui exact bien vu !

en fait c'est i (+2k) en gros c'est ça ?

j el'avais pas vu comme s mais oui ^^

En tous cas merci de vôtre aide. j'ai pas trop compris l'histoire de k de 0à 4 mais bon. enfait je sais pas trop comment le noté.

Posté par
raymond Correcteur
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 21:44

Tu remplaces k par 0, 1, 2, ... Tu t'aperçois que k = 5 revient à k = 0.

Posté par
miralem
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 22:03

Donc je met k{0,4} c'est ça ?

Posté par
miralem
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 07-10-09 à 22:04

ou 0k4

Posté par
raymond Correcteur
re : Complexes : résoudre Z^5=-3.r(2)+3i.r(2) 08-10-09 à 09:25

Personnellement, j'écrirais k {0,1,2,3,4}



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