Bonjour à tous.

J'ai un exercice qui consiste à démontrer que la composée de deux relations binaires symétriques n'est pas symétrique "en général"...

Voici ce que j'ai fait.

On note entre des guillemets ("") les formules dont on évalue la valeur de vérité.

Définition :
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Soient R et S deux relations binaires sur E. La composée de ces deux relation, notée RoS, est telle que :
javascript:symbole(''); x, y € E, xSoRy ssi javascript:symbole(''); z € E, xRz et zSy.

Fin Défiitionjavascript:symbole('');
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Hyposthèses :
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Soient R et S deux relations définies sur IN telles que :

javascript:symbole(''); x, y € IN, xRy ssi xy=0
et
javascript:symbole(''); x, y € IN, xSy ssi xy=1

R est symétrique car :  javascript:symbole(''); x, y € IN, xy=0 =>yx=0 (par commutativité de la multiplication)
S est symétrique car :  javascript:symbole(''); x, y € IN, xy=1 =>yx=1 (par commutativité de la multiplication)

Fin Hypothèses.
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Démonstration:
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On a, par hyposthèses :

“javascript:symbole(''); x, y, z € IN, xRz et zSy et (¬(yRz) ou ¬(zSx))”
est vraie.

En effet, pour x=0, y=1, z=1, on a :

“0*1=0”=vraie, “1*1=1”=vraie, “¬(1*1=0)”=vraie, “¬(1*0=1)”=vraie)

Donc, la négation de cette fomule est fausse :

“ javascript:symbole(''); x, y, z € IN, xRz et zSy => yRz et zSx”
est fausse.

(on utilise ( p et ¬q ) = ¬ ( p => q ) pour transformer la conjonction en implication)

Et donc, en particulier :

“ javascript:symbole(''); x, y € IN, javascript:symbole(''); z € IN, xRz et zSy => yRz et zSx”
est fausse.

Donc, par définition :

“ javascript:symbole(''); x, y € IN, xSoRy =>ySoRx” est fausse.

La composée SoR de R et de S n'est donc pas symétrique dans ce cas.

Fin démonstration.
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Cette démonstration est-elle juste à votre avis ?

Merci

theOphile paXitO