bonsoir,
soit P et Q deux projecteurs d'un K-e.v
P+Q est un projecteur<=>PQ+QP=0 (1) (facile à prouver)
en  composant par P à gauche ( puis à droite)  dans (1) on obtient
(2)PQ+PQP=0
(3)PQP+QP=0
donc PQ=QP et (1)=>PQ+PQ=0 donc si K n'est pas de caractéristique 2  PQ=0

Bonjour,

Considère  E = ³ doté de sa base canonique  (e₁ , e₂ , e₃)  et les projections  p et q respectivement sur  Vect(e₁ , e₂)  parallélement à  Vect(e₃)  et sur  Vect(e₂ , e₃)  parallélement à  Vect(e₁).

Tu n'auras aucun mal à vérifier (matriciellement par exemple) que  p o q  est un projecteur mais que ce n'est ni l'endomorphisme nul, ni p, ni q .

bonjour,
>>Fradel  (p+q) lui même un projecteur <=>(poq =0=qop)

Bonjour veleda,  

tout à fait d'accord avec toi et ta démonstration est incontestable. Je répondais juste à la question portant sur la composition :

je reviens à la question posée par mey
*on a vu que l'on pouvait avoir poq=o      poq=qop=o<=>p+q est un projecteur
*on peut aussi avoir poq=p                 poq=qop=p<=>q-p est un projecteur
la démonstration se fait comme pour le précédent cas

                    

>>fradel
p et q commutent => poq projecteur  

oui, veleda j'avais effectivement vu cette condition ... seulement suffisante. J'ignore s'il y a une CNS concernant la composition de projecteurs.
J'ai recherché du coté des applications  up o u  - u o p  où  p est un projecteur fixé ; je n'ai rien trouvé d'interessant pour le moment, mais peut-être suis-je passé à coté de qqchc. Si tu as d'autres pistes ...
merci d'avance