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concavité de ln pour obtenir une inégalité
bonjour,
je prépare le capesa math interne et je bloque bêtement sur la question suivante :
en utilisant la concavité de la fonction log népérien sur ]0;+
[ démontrer que :
(ln(n+1)+ln(n))/2 
n+1n ln(x)dx (ln(n+1)+ln(n))/2 + 1/8 * (1/n - 1/(n+1))
merci pour les pistes que vous pourrez me donner
Bonjour,
Il suffit pourtant simplement de revenir à la définition.
On fait le changement de variable :
On utilise la concavité : la courbe est au-dessus de sa corde [n;n+1], donc l'équation est :
:
On intègre entre 0 et 1 :
Pour l'autre inégalité, exploiter le fait que la courbe est sous ses tangentes ?
Nicolas
Avec beaucoup de retard, merci pour cette réponse. J'avais bien pensé à revenir à la définition pour ce côté de l'inégalité, mais j'intégrai sur [n;n+1] dés le départ. D'où problème!
Pour l'autre côté, peut-on considérer qu'une coubre de fonction concave est au dessous de toutes tangentes et comparer des aires formées par la courbe et des tangentes bien choisies?
pour la deuxième inégalité, il faut effectivement partir du fait que la courbe de ln est en dessous de toutes ses tangentes. J'ai considérée la tangente en n, celle en n+1 et j'ai séparé l'intervalle [n;n+1] en deux. nn+1lnxdx=nn+0.5lnxdx+n+0.5n+1lnxdx
la première intégrale est inférieure à l'aire du trapèze formé par le point A(n,ln(n)), le point de la tangente en n d'abscisse n+0.5 et les points de coordonnées(n;0) et (n+0.5;0).
La seconde est inférieure à l'aire du trapèze formé par le point A(n+1,ln(n+1)), le point de la tangente en n+1 d'abscisse n+0.5 et les points de coordonnées(n+1;0) et (n+0.5;0)
La formule donnant l'aire d'un trapèze permet de conclure
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