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Conditionnement d'une matrice

Posté par
infophile 08-06-08 à 14:43

Bonjour

Citation :
Soit 3$ \rm A une matrice 3$ \rm n\times n inversible, on introduit la norme matricielle subordonnée à la norme euclidienne définie par :

3$ \rm ||A||=\stackrel{sup}{X\in \mathbb{R}^n,X\neq 0}\frac{||AX||}{||X||}

On appelle conditionnement de 3$ \rm A le réel 3$ \rm Cond(A)=||A||.||A^{-1}||



Je viens de découvrir ces définitions, donc pour mettre en application j'aimerais :

Citation :
1) Montrer que 3$ \rm Cond \begin{pmatrix}8&6&4&1\\1&4&5&1\\8&4&1&1\\1&4&3&6\end{pmatrix}\approx 3198

2) Soit la matrice 3$ \rm A_N=N^2\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&\ddots&\ddots&\ddots&&0&\\&&\ddots&\ddots&\ddots&&&\\&0&&\ddots&\ddots&\ddots&&\\&&&&-1&2&-1\\&&&&&-1&2\end{pmatrix} montrer que 3$ \rm Cond(A_N)\sim \frac{4}{\pi^2}N^2



1) Je pense utiliser le fait que 3$ \rm ||A||=\stackrel{max}{1\le j\le n}\Bigsum_{i=1}^{n}|a_{ij}| ?

Mais avant je dois inverser la matrice, sauf que Maple ne veut pas j'ai fait : with(LinearAlgebra); MatrixInverse(A) et il y a une erreur.

Merci !

Posté par
lyonnaisre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 14:48

Salut Kevin

Sauf erreurs :

Conditionnement d\'une matrice

Posté par
lyonnaisre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 14:50

Et désolé, je ne peux pas t'aider avec Mapple, je ne m'y connais pas

J'utilise Mathématica ...

Posté par
lyonnaisre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:00

Après pour la norme triple ça dépend, comme norme de départ, tu considères la norme infini ou la norme 1 ?

Parce que pour l'une tu prends le sup sur les lignes et pour l'autre tu prends le sup sur les colonnes, donc ça peut changer le résultat ...

Posté par
infophilere : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:01

Salut romain

Merci pour l'inverse !

Je ne trouve pas le résultat voulu en utilisant la formule du max.

J'ai ||A||\approx 11,4 et ||A^{-1}||\approx 135.

Qu'en penses-tu ?

Posté par
infophilere : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:02

J'ai pris la norme 1, tu penses que c'est la norme infinie qu'il faut prendre ?

Posté par
infophilere : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:05

J'ai essayé avec la norme infinie j'obtiens pas loin de 1600 ce qui est presque deux fois moins que le résultat attendu, comme pour la norme 1

Posté par
Arkhnorre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:07

Bonjour.
Dans l'enoncé, il est question de norme euclidienne, il faut donc prendre la norme 2 à mon avis.

Posté par
lyonnaisre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:08

Bonjour Arkhnor

A ba voila qui règle le problème

Il suffit de lire l'énoncé !

Posté par
infophilere : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:16

Re-bonjour

J'y connais pas grand chose en terme de normes

La norme 2 c'est ||A||=\sqrt{\rho(A ^tA)} avec \rho le rayon spectral ?

C'est encore plus chiant à calculer donc

Posté par
Arkhnorre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:18

Euh, c'est la norme qui dérive du produit scalaire usuel, c'est a dire que c'est la racine de la somme des coordonnées au carré. (je ne sais pas si cela s'appele la norme 2 en fait )

Posté par
lyonnaisre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:19

Re

C'est

\Large{||A||=\sqrt{\rho(t(A).A)}

Donc ici les calculs sont dégeulasse.

Faut former t(A).A et trouver les valeurs propres. Et faire pareille ensuite avec A^(-1)

Perso je trouve :

||A|| = 15.5457...

||A^(-1)|| = 205.759...

Donc :

Cond(A) = 3198.67

ça à l'air de coller.

Posté par
Arkhnorre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:20

Mais je parle de la norme d'un vecteur !!
Ensuite, la norme de la matrice s'obtient par la formule que tu as mentionnés plus haut, une fois la norme fixée sur l'espace vectoriel.

Posté par
lyonnaisre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:20

(Aii les fautes d'orthographes !! )

Posté par
Arkhnorre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:21

J'ai peut-etre dit une bétise

Posté par
infophilere : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:22

D'accord, l'important c'est la méthode, merci à vous deux

Et pour la 2) c'est le même bazar ?

Posté par
lyonnaisre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:28

Pour la deuxième, A est symétrique, donc t(A) = A

Ca simplifi les calculs, mais c'est la même méthode je pense. A essayer !

Posté par
infophilere : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:31

Ok j'essaierai ça alors

Mais avant pose casse croute

Bon aprem à vous !

Posté par
lyonnaisre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:32

Bonne aprem Kevin

A bientôt

Posté par
Arkhnorre : Conditionnement d'une matrice 08-06-08 à 15:35

Bon aprem.
A++


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