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Niveau Licence Maths 1e ann
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Construire une égalité a^b=b^a

Posté par
alainpaul
03-10-11 à 12:21


Bonjour en ce lundi matin

j'aimerais vous proposer une solution paramétrique à l'égalité
a^b=b^a
 \\ 
 \\ \frac{a}b = \frac {ln(a)}{ln(b)} = t  (1)   

soit aussi  a = b\times t

Eliminer 'a'  dans (1) conduit à :
b\times t = b^t

Et   a = t^{t/(1-t)} 
 \\       b = t^{1/(1-t)}


Exemple: t =2 a = 4 ,b = 2

Nota:
t\neq1 .
Pour a et b réels il est nécessaire de définir l'intervalle T
auquel t appartient ,


Alain

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Construire une égalité a^b=b^a 03-10-11 à 13:48

Je suppose que tu as voulu écrire :

a = t^(t/(t-1))
b = t^(1/(t-1))

Remarque que cette façon de faire "oublie" des solutions... Par exemple toutes les solutions a = b (positives) pour lesquelles on aurait t = 1

Posté par
alainpaul
re : Construire une égalité a^b=b^a 03-10-11 à 19:30

Bonsoir J.P


OUI,je m'efforce d'écrire correctement en Latex.

Dans le cas où a est non pair nous avons
deux solutions réelles,
a pair ,exemple a^2=2^a nous avons une troisième solution .
a=2,4 et -2LambertW(ln(2)/2)/ln(2)
soit -0,7666646958 ...

Dans C toutes les solutions s'expriment à l'aide
de la fonction LambertW,


Alain



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