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Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique

Posté par
charmuzelle 22-08-09 à 15:08

Bonjour à tous

Je me demandais comment je pourrais prouver que l'application qui à une matrice carrée ( dans Mn(R) ) associe son polynôme caractéristique det(M-XI) (dans R[X]) est continue.

J'ai voulu décomposer cette application en M donne M-XI donne det(M-XI) mais je me suis demandée à quel ensemble pouvait bien appartenir M-XI, j'ai trouvé cela un peu absurde.

Posté par
Camélia Correcteurre : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 22-08-09 à 15:13

Bonjour

En fait tu vas de l'espace de dimension n^2 des matrices dans l'espace de dimension n+1 des polynômes de degré au plus n. Comme tu es en dimension finie, il suffit de remarquer que les coefficients du polynôme caractéristique sont des fonctions polynômiales des coefficients de la matrice.

Posté par
charmuzellere : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 22-08-09 à 15:34

En fait je posais cette question parce qu'on me demande de prouver que l'application de Mn(R) dans R qui à une matrice associe un coefficient donné de son polynôme caractéristique est continue.

En quoi les coefficients du polynôme caractéristique sont-ils des fonctions polynômiales des coefficients de la matrice ? Il y a une formule qui le dit ?

Posté par
gui_toure : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 22-08-09 à 16:24

Bonjour,

Citation :
En quoi les coefficients du polynôme caractéristique sont-ils des fonctions polynômiales des coefficients de la matrice ? Il y a une formule qui le dit ?


Le polynôme caractéristique s'écrit 3$\chi(x)=\Bigsum_{k=0}^na_k x^k si on travaille dans 3$\mathcal{M}_n(\mathbb{C})

Il est égal au déterminant de la matrice 3$A-xI_n, qui est bien un polynôme dont les coeff (les ak) s'expriment en fonction des coeff de la matrice A.

Un exo qui fait intervenir cette notion :

Citation :
Soient A et B deux matrices de 3$\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) telles qu'il existe (n+1) complexes 3$\lambda_1,...,\lambda_n vérifiant  : "3$(A+\lambda_iB)^n est une matrice nilpotente"

Montrer que A et B sont nilpotentes.

Posté par
kaiser Moderateurre : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 22-08-09 à 16:24

Bonjour à tous

Je me permets de m'incruster, si vous le voulez bien !

charmuzelle > Il suffit d'utiliser la grosse formule qui donne le déterminant d'une matrice en fonction de ses coefficients : c'est une somme de produit de coefficients de la matrice.
Ainsi, le polynôme caractéristique d'une matrice est une somme de produit de terme de la forme \Large{m_{ii}-X} ou de la forme \Large{m_{ij}} avec i différent de j. On a donc affaire à un polynôme et ses coefficients sont obtenu en faisant des sommes de produits de coefficients de la matrice M (donc ce sont des polynômes en les coefficients de M).

Est-ce clair ?
En fait, on peut avoir une formule un peu plus explicite pour les coefficients : le terme d'ordre k est, si mes souvenirs sont bons, égal à \Large{(-1)^k} multiplié par la somme des mineurs principaux d'ordre n-k.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 22-08-09 à 16:25

salut gui_tou

Posté par
gui_toure : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 22-08-09 à 16:28

Salut Kaiser ! et salut Camélia que je n'avais pô vue

Posté par
charmuzellere : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 23-08-09 à 21:48

Alors, la formule de Leibniz permet d'écrire det(M-XI) sous la forme d'un polynôme de coefficients de M.
L'application de Mn(R) dans R[X] qui à X associe det(M-XI) est une application polynôme donc continue.

L'application de R[X] dans R qui à un polynôme associe le coefficient de Xj est une projection, donc continue... A condition de préciser qu'on est en dimension finie n+1 (sinon ça ne marche pas ?)

Merci beaucoup de votre patience... C'étaient déjà des lacunes quand j'étais étudiante. A ce demander comment j'ai réussi à avoir le CAPES. J'ai beaucoup de lacunes que je cherche à combler pour préparer l'agreg interne. C'est comme un immense puzzle... J'espère qu'il prendra forme au fil des ans.

Merci encore d'être là et de m'aider.

Posté par
kaiser Moderateurre : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 23-08-09 à 22:13

Citation :
L'application de R[X] dans R qui à un polynôme associe le coefficient de Xj est une projection, donc continue... A condition de préciser qu'on est en dimension finie n+1 (sinon ça ne marche pas ?)


D'abord, juste pour la rigueur : une projection c'est une application linéaire pour laquelle les espaces de départ et d'arrivée sont les mêmes. Ici, on va plutôt parler de forme linéaire.

Pour la suite, je vais essayer d'être le plus clair possible.
La restriction de cette application à n'importe quel \Large{\mathbb{R}_n[X]} est continue car on a affaire à une forme linéaire et que l'espace de départ est de dimension finie (ceci vient en de l'équivalence des normes en dimension finie).

Par contre, si l'on considère cette application comme étant définie sur R[X], pour parler de continuité, il faut absolument préciser par rapport à quelle norme et en l'occurrence, la continuité de cette application dépend bel et bien de la norme.

Si P est dans R[X], on peut toujours l'écrire \Large{P=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k (les coefficients étant nuls à partir d'un certain rang).

On considère les deux normes définies par les normes suivantes :

\Large{N_1(P)=\max_{k}|a_k|}

et

\Large{N_2(P)=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}|a_k|}

Pour la première norme, cette application est continue mais pas pour la deuxième (considérer la suite de polynômes \Large{\(X^n\))}.

Kaiser

Posté par
charmuzellere : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 24-08-09 à 17:05

Merci (une fois de plus) Kaiser. Dois-je prouver qu'on a bien une forme linéaire de Rn+1[X] sur R ? ... Oui bon c'est assez immédiat. Et linéaire implique continue en dimension finie (pour l'espace de départ).

C'est un sujet des mines, je crois ... Mon avancée est très laborieuse.

Donc ...probablement à bientôt

Posté par
kaiser Moderateurre : Continuité matrice carrée vers polynôme caractéristique 24-08-09 à 17:17

Citation :
Dois-je prouver qu'on a bien une forme linéaire de Rn+1[X] sur R ? ... Oui bon c'est assez immédiat.


oui, je pense moi aussi que c'est immédiat.

Citation :
Et linéaire implique continue en dimension finie (pour l'espace de départ).


toutafé

Kaiser


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