Niveau école ingénieur

Contraction d'endomorphisme

Posté par
matheux14 18-01-24 à 00:46

Bonsoir,

Merci d'avance.

Soit $E$ un espace euclidien. On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est une contraction de $E$ , si pour tout $x \in E$ , on a $\|u(x)\| \leq\|x\|$ .

1. On suppose que $u$ est symétrique.

a) Montrer que ( $u$ est une contraction) $\Longleftrightarrow(\forall \lambda \in \operatorname{Sp}(u),|\lambda| \leq 1)$

b) Montrer que pour tout polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ , on a

$\forall x \in E, \quad\|P(u)(x)\| \leq \sup _{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)}|P(\lambda)|\|x\|$

2. On ne suppose plus que $u$ est symétrique.

a) En remarquant que $u^* u$ est symétrique, montrer qu'il existe une base orthonormale $\left(e_1, e_2, \ldots, e_n\right)$ de $E$ , tel que le système $\left(u\left(e_1\right), u\left(e_2\right), \ldots, u\left(e_n\right)\right)$ soit orthogonal.

b) Montrer que

$(u \text { est une contraction }) \Longleftrightarrow\left(\forall \lambda \in \operatorname{Sp}\left(u^* u\right), \lambda \leq 1\right)$

3. Montrer que

$\text { ( } u \text { est une contraction) } \Longleftrightarrow\left(u^* \text { est une contraction }\right) \\$

4. Montrer que si $u$ est une contraction, alors

$\operatorname{ker}\left(u-I d_E\right)^{\perp}=\operatorname{Im}\left(u-I d_E\right)$ .

Réponses

1) En utilisant le fait que si $u$ est symétrique, alors $\operatorname{Sp}(u) \subset \R$ et que pour tout $x \in E$ , on a $\|u(x)\|^2=hu(x), u(x)i=hx, u*u(x)i=hx, uu(x)i = \lambda \|x\|^2$ , où $\lambda$ est la valeur propre associée à $x$ . Alors, on a :

$u \text { est une contraction } \Longleftrightarrow \forall x \in E, |u(x)| \leq |x| \Longleftrightarrow \forall x \in E, |u(x)|^2 \leq |x|^2 \Longleftrightarrow \forall x \in E, \lambda |x|^2 \leq |x|^2 \Longleftrightarrow \forall x \in E, \lambda \leq 1 \Longleftrightarrow \forall \lambda \in \operatorname{Sp}(u), |\lambda| \leq 1$

Peut on faire mieux pour cette première question ?

Posté par re : Contraction d'endomorphisme 18-01-24 à 01:55

Bonsoir,

Je ne comprends rien ! Que sont h et i ?

De plus, dans ta série d'équivalences, il y a dans la quatrième et dans la cinquième assertion des $\lambda$ qui ne sont pas définitions proprement, et soudainement, on lit un $\forall \lambda\in\mathrm{Sp}(u)$ dans la dernière.

Tout ceci me semble manquer de clarté !

Pourquoi ne pas faire une implication et puis l'autre ?
$u$ contractante implique facilement que, pour tout $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$ , $|\lambda|\leqslant 1$ ,

puis dans l'autre sens, utiliser le fait que $u$ est symétrique donc elle est diagonalisable dans une base $(e_1,\dots,e_n)$ orthonormée... Ainsi, on a successivement :
Soit $x\in E$ , alors
$\|u(x)\|^2=\left \| u\left ( \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}x_ke_k\right )\right \| ^2=\left \| \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}x_ku(e_k)\right \|^2=\left \| \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}x_k\cdot\lambda_k e_k\right \|^2=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}x_k^2\lambda_k^2\leqslant \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}x_k^2=\|x\| ^2$ ,
où les $\lambda_k$ sont les valeurs propres de $u$ comptées avec multiplicté.

De manière générale, mais ce n'est que mon avis, je pense qu'il est souvent plus clair et plus propre de montrer une implication puis l'autre plutôt que de procéder par équivalences, sauf si bien sûr ces équivalences sont évidentes. En plus, il se peut qu'on aille parfois un peu vite dans les équivalences... ce qui a été ton cas ici carton $\lambda$ semble être fixé quand on lit les assertions 4. et 5., puis ne l'est plus dans l'assertion 6. ...

Posté par re : Contraction d'endomorphisme 18-01-24 à 10:32

Bonjour MattZolotarev, soit $x$ et $y$ deux vecteurs. Alors $h x, yi$ représente le produit scalaire de $x$ et $y$ .

J'ai utilisé le fait que si $u$ est symétrique, alors ses valeurs propres sont réelles et appartiennent au spectre de u, noté Sp(u). Le spectre de u est l'ensemble des scalaires $\lambda$ tels qu'il existe un vecteur propre $x$ non nul vérifiant :

$u(x) = \lambda x$ ..

Mais je pense que c'est plus rigoureux de faire comme vous.

Citation :
$u$ contractante implique facilement que, pour tout $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$ , $|\lambda|\leqslant 1$ ,

Oui, $u$ est contractante donc

$| u(x) | \leq | x | \Longrightarrow |\lambda x| \le |x| \Longrightarrow |\lambda| \leq 1$

b) $u$ est symétrique et donc diagonalisable dans une base orthonormée de $E$ , formée de vecteurs propres de $u$ . On a alors :

$P(u)(x) = P(u)\left(\sum_{k=1}^n x_k e_k\right) = \sum_{k=1}^n x_k P(u)(e_k) = \sum_{k=1}^n x_k P(\lambda_k) e_k$

où les $\lambda_k$ sont les valeurs propres de $u$ comptées avec multiplicité. En appliquant la norme des deux côtés, on obtient :

$| P(u)(x) | = \left| \sum_{k=1}^n x_k P(\lambda_k) e_k \right| = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2 P(\lambda_k)^2} \leq \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n x_k^2 \sup\limits_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} |P(\lambda)|^2} = \sup\limits_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} |P(\lambda)|\| x \|$

2.a) D'après le théorème spectral, tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée formée de vecteurs propres.

Donc, il existe une base orthonormée de $E$ telle que :

$u^* u(e_k) = \mu_k e_k$

où les $\mu_k$ sont les valeurs propres de $u^* u$ .

On montre alors que pour tout $i, j$ avec $i \neq j$ , on a on a : $h u(e_i), u(e_j) i = 0$

Posté par re : Contraction d'endomorphisme 18-01-24 à 13:38

salut

comme MattZolotarev je ne comprends pas ces notations sans intérêt ...

MattZolotarev te donne des indications simples pour répondre à la question 1/

il suffit ensuite de revenir à la définition de la norme d'un vecteur :

$||x|| = \sqrt {<x|x>}$ ou encore $||x||^2 = <x|x>$

donc $||P(u)(x)||^2 = <P((u)(x)| P(u)(x)>$

maintenant si x est un vecteur propre associé à la valeur propre k alors

$||P(u)(x)||^2 = <P((u)(x)| P(u)(x)> = <P(k)x|P(k)x> = [P(k)]^2 ||x||^2$

et la conclusion vient immédiatement

questions 2/ et 3/ : de même la définition de $u^*$ résout presque immédiatement la question :

par définition $u^*$ est l'endomorphisme tel que $<u(x)|y> = <x|u^*(y)>$

donc $<u^*u(x)|x> = <u(x)|u(x)> = ...$

Posté par re : Contraction d'endomorphisme 19-01-24 à 16:29

Merci beaucoup à vous

Posté par re : Contraction d'endomorphisme 19-01-24 à 19:06

de rien

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