Bonjour,

As-tu essayé de montrer que f(A)f(B)f(AB) ?
Si oui, alors tu as du voir qu'il te fallait une condition nécessaire pour réaliser cette inclusion: l'injectivité de f.

Et donc du coté des contres exemples, on peut prendre une fonction non injective, par exeple f: xx² définie de .
Je te laisse deviner les ensembles A et B ?

Bien oui j'ai essayé de la démontrer, mais j'ai dû me tromper ...
J'ai un petit peu de mal avec ce genre de problème, il y a des astuces à connaître ? Merci Narhm.

x AB, donc f(x) f(AB)
Or x A et xB
donc f(x) f(A) et x f(B)
donc x f(A) f(B)
On conclut f(A)f(B) f(AB)

Ou faut-il utiliser l'injectivité ?

Merci

Attention !
Tu veux montrer que f(A)f(B)f(AB).

Donc tu dois logiquement commencer par : soit yf(A)f(B) ... bla bla bla ... yf(AB).

Essaie de le faire étape par étape.
Je te rappelle que yf(A) il existe un x dans A tel que f(x)A.

"Il existe un x dans A tel que f(x)f(A)", non ?

pourquoi dois-je montrer l'inverse de l'inclusion ?

f(AB) f(A) f(B)

J'ai mal compris ?

Merci

J'ai un peu de mal à savoir le sens de l'inclusion, celui que je montre ...

Oula excuse moi ! Petite méli mélo

yf(A) => il existe xA tel que f(x)=y.

L'objectif de ton premier message était de trouver un exemple ou f:E->F, A,B des parties de E, et f(A)f(B) n'étant pas inclus dans f(AB).

Je t'avais demandé si tu avais essayé de le montrer pour que tu vois ou ça bloque afin d'en tirer un bon contre exemple. Rien de plus.

On est d'accord que f: E->F
A,BE , f(AB)f(A)(f(B) est toujours vrai pour n'importe quel f ?
La preuve en est :
En effet soit yf(AB), alors il existe un xAB telle que f(x)=y. Comme xAB alors xA donc f(x)f(A), de même f(x)f(B). Finalement f(x)=yf(A)f(B).

En revanche l'inclusion inverse n'est pas toujours vrai.

D'accord, merci Narhm, c'est plus clair, mais j'ai un peu de mal à me représenter ce que signifie l'inclusion inverse.

Je vais essayer de la démontrer par étapes comme dit dans le message précédent

On essaye donc de montrer f(A) f(B) f(AB)

On a x A et x B
Donc x appartient à AB.
Or f(x) f(A) et f(x)f(B) f(x) f(AB)

Comment introduire la restriction injectivité ?

Merci

Non,
Quand tu veux qu'un ensemble est inclus dans un autre tu montres bien que tout élément du premier est dans le deuxième non ?

C'est pareil.
Tu veux montrer que tout élément de f(A)f(B) et aussi dans f(AB).
Soit donc un élément z de f(A)f(B), alors z appartient à f(A) et z appartient à f(B), et tu continues jusqu'à avoir z appartient à f(AB). Bien entendu, maintenant que tu le sais, prends bien soin de voir le lien d'une étape à une autre.

On prend un élément z de f(A) f(B).
Alors z appartient à f(A) et z appartient à f(B)
Alors Il existe x, antécédent de z par f tel que x appartient à A et x appartient à B.
x appartient donc à AB
On en déduit que f(x)=z appartient à f(AB).
L'ensemble f(A) f(B) est donc inclus dans f(AB)

C'est à peu près comme ça ?

Oui c'est tout à fait l'idée !

Seulement :

Oui, Merci.

On a donc f(x)=f(x')=z.
Si f est injective, on a x=x' et alors x est dans AB.
Cela signifie que z appartient à f(AB).
C'est à dire que f(AB) est inclus dans f(A)f(B) si et seulement si f est injective.

C'est bien ça ?

En fait c'est l'inverse pour la fin

f(A) f(B) est inclus dans f(AB) si et seulement si f est injective. C'est ça là ? ^^

Juste une remarque, tu as montre que Si f était injective ca fonctionnait.
Il faudrait montrer en toute rigueure que si f(AB)f(A)f(B) alors f est injective afin d'avoir l'équivalence : f(AB)=f(A)f(B) SSI f est injective.

Une fois que tu auras montré l'équivalence tu pourras en déduire que si f n'est pas injective alors f(AB) n'est pas inclus dans f(A)f(B) ce qui te permettra d'avoir un contre exemple à ton problème. Si c'est toujours ce que tu recherches bien sur

Pour clarifier un peu plus les choses :

Bien entendu, tu n'es pas obligé de faire tout ça.
Il suffit de voir ce qui fait marcher l'inclusion pour en déduire un contre exemple.

Si tu ne cherches qu'un contre exemple à la proposition f(AB)f(A)f(B), alors choisi une fonction non injective, comme je te l'avais conseilé au début, par exemple f:, xx².

En revanche si tu montres l'équivalence précedente, alors tu auras encore mieux comme contre exemple : toutes les fonctions qui ne sont pas injectives, sur des parties A et B bien choisies, sont un contre exemple.

Si y appartient à f(AB), alors il existe x appartenant à AB. x A et x B.
On a donc f(AB)f(A)f(B) si et seulement f est injective car f^-1 y1 = f^-1y2= x.
(y1 appartenant à A et y2 appartenant à B)


Je  ne vois pas trop ici comment distinguer les x car f(x) appartient à l'image de l'intersection de A inter B et son antécédent est unique. (puisqu'on parle d'un x en particulier (où des x qui vérifient x AB)

Merci encore

Re !

Mettons un peu d'ordre à présent. J'ai l'impression que tu ne vois pas trop ce que je veux te montrer, ni trop ce qu'il faut faire:
Allons y !


1) Soit f une fonction de E dans F. Montrons que  pour toutes parties A,B de E , f(AB)=f(A)f(B) si et seulement si f est injective.

   a) : si f est injective alors f(AB)=f(A)f(B)
(i) Soit y appartenant à f(AB), alors il existe un x dans AB tel que f(x)=y. Mais si xAB donc x appartient à A f(x)f(A). De meme, x appartient à B, donc f(x)B.
Bilan : f(x)=yf(A)f(B). Il n'a été nul par nécessaire d'utiliser f injective.

(ii) Soit y appartenant à f(A)f(B), alors y appartient à f(A) ce qui implique qu'il existe un x₁ dans A tel que f(x₁)=y. Mais y appartient à f(B) aussi, donc il existe un x₂ ( peut etre différent de x₁ on ne sait pas ) tel que f(x₂)=y.
Donc on a f(x₁)=f(x₂). Or f est injective par hypothèse, ce qui implique que x₁=x₂=xAB.
Finalement cela montre que y=f(x)f(AB).
On a utilisé le fait que f était injective ici !

On vient de montrer le sens .

   b) Supposons que f(AB)=f(A)f(B), montrons que f est injective.

Soit x,yE tels que f(x)=f(y). Pour nous servir de notre hypothese créons deux ensembles A et B de E( avec ce qu'on a, c'est à dire x et y). A={x}, B={y}, A,B sont bien des parties de E.
D'après notre hypothèse f(AB)=f(A)f(B), c'est à dire que f({x})f({y})=f({x}{y}).
Or f({x})=f({y})={f(x)} car f(x)=f(y). Il s'ensuit que f({x}{y})={f(x)} qui est différent de .
Nécessairement {x}{y} x=y.

Bilan: f est injective.

Conclusion générale : On a montré que si f est une fonction de E dans F alors f est injective si et seulement si pour toute partie A,B de E, f(AB)=f(A)f(B)

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La partie 1)a)(i) était la première partie de ton travail j'imagine : montrer que c'était tout le temps vrai.
Se posait alors la question de la réciproque, l'autre sens est-il tout aussi vrai sans autres hypothèses supplémentaire.
On a donc vu au 1)a)(ii) que f injective était nécessaire, mais on se savait pas si c'était suffisant.
Aussi le point 1)b) nous montre que, oui effectivement c'est suffisant.

On obtient ainsi une condition nécessaire et suffisant sur f pour que "tout se passe bien".

  2) Maintenant répondons à ta question qui était : Trouver un contre exemple à : "pour f:EF, toute partie A,B de E, f(A)f(B)f(AB)"

A la conclusion générale de 1), on comprend bien que si f n'est pas injective alors on a pas l'égalité f(AB)=f(A)f(B) mais juste une inclusion qui f(AB)f(A)f(B).

Donc c'est gagné ! Un contre exemple : une fonction non injective avec des parties A et B bien choisies.
C'est pour ca que je te suggérai de prendre la fonction carré.

Sauf erreur bien sur...

Comme je te l'ai déjà dit, cette étude montre concrètement ce qui fait marcher l'égalité f(AB)=f(A)f(B) par suite ce qui fait que l'égalité ne marche pas ! C'est utile pour le contre exemple donc.

Il n'est pas nécessaire de faire tout ça. Expliciter une bonne fonction suffisait.

Merci pour cette réponse détaillée.

J'ai mis du temps pour la réponse pour être sûr de bien comprendre.
C'est beaucoup plus clair.

Juste une chose : {x} étant un point.
                  {y} étant un point

Leur intersection est soit l'ensemble vide, soit ils sont confondus, donc x=y.

J'ai bien compris ?

Merci encore

Bonjour !

Oui c'est ça.

Bonjour ! Merci encore !!!