Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Produit scalaireTopics traitant de Produit scalaire [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Contrôle sur les Produit scalaire

Posté par na_h (invité) 02-05-05 à 11:13

J'ai loupé mon contrôle et j'aimerais que quelqu'un me le fasse, si il à le temps, en dévelopant ligne à ligne afin que je comprenne...
Pour information j'ai eu 50 minutes pour le faire, pouvez vous avoir l'amabilitée et la franchise de me si cet exos est fesable dans ce temps impartis.


Voici l'exos :

I)Soit un repère orthonormé (O,,).

Soit les points A(3,4), B(7,-2), C(-3,-4).

   1)Déterminer les équations de deux médiatrices du triangle ABC et leur intersection.

   2)Déterminer une équation du cercle circonscrit au trinangle ABC.

   3)Calculer (vecteur)AB.(vecteur)AC   ==> (le point au milieu c'est scalaire)

   4)Soit M(x,y). Calculer (vecteur)MA.(vecteur)MB puis déterminer l'ensemble des points M du plan tels que (vecteur)MA.(vecteur)MB=2.


II)Soit un repère orthonormé (O,,).

   1)Soit les points A(-2,-1) et B(6,5). Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB].

   2)Déterminer les coordonnées des points d'intersection de ce cercle et de la droite (D) d'équation y=-x+3.


III)

   1)Calculer la valeur exacte de cas 75° et de sin 75°.

   2)On sait que cas x=2/5 et x [0°;90°]
     Calculer alors sin x, cos 2x et sin 2x.

   3)Vérifier que (sin x - cos x)² = 1-sin 2x


Merci d'avance pour vos réponse.

Posté par Yalcin (invité)re : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 11:44

tout est dans le cours

Posté par
Nightmarere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 12:31

Bonjour

Allons y pour la premiére partie :

I]

1)
a)Médiatrice de [AB]

En notant I le milieu de [AB] , la médiatrice de [AB] est l'ensemble des points M du plan tel que 3$\rm\blue \vec{MI}\cdot\vec{AB}=0

----------------------------------------------
Tout dabord déterminons les coordonnées de I :
\rm Nous avons :

3$\rm A(3,4) et B(7,-2)

\rm Ainsi :

3$\rm I\(\frac{3+7}{2};\frac{4+(-2)}{2}\)

\rm ie :

4$\rm \red \fbox{\fbox{I\(5;1\)}}

---------------------------------------------

Noutons à présent 3$\rm (x;y) les coordonnées de M

\rm On a alors :

3$\rm \fbox{\vec{MI}\begin{pmatrix}5-x\\1-y\end{pmatrix}}

\rm de plus :

3$\rm \vec{AB}\begin{pmatrix}7-3\\-2-4\end{pmatrix}

\rm cad :

3$\rm \fbox{\vec{AB}\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}}

------------------------------------------
On en conclut :

3$\rm \begin{tabular}\vec{MI}\cdot\vec{AB}&=&4\times (5-x)-6\times (1-y)\\&=&20-4x-6+6y\\&=&-4x+6y+14\end{tabular}

De là , on en déduit que l'équation de la médiatrice de [AB] est :
3$\rm \blue\fbox{\fbox{-4x+6y+14=0}}


b)médiatrice de [AC]

Nous allons suivre le même raisonnement avec cette fois ci en notant I' le milieu de [AC] : 3$\rm\red \vec{MI}\cdot\vec{AC}=0

données calculées :

* 3$\rm I'=O \Longleftrightarrow I'\(0;0\)
* avec 3$\rm M(x;y) : 3$\rm \vec{MI}\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}
* 3$\rm \vec{AC}\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}


On en déduit :
3$\rm \begin{tabular} \vec{MI}\cdot\vec{AC}&=&-3\times(-x)+(-4)\times(-y)\\&=&3x+4y\end{tabular}

De là , on en déduit que l'équation de la médiatrice de [AC] est :
3$\rm \blue\fbox{\fbox{3x+4y=0}}


2)
Le cercle cisconcrit au triangle ABC est le cercle de centre O' , intersection des médiatrices et de rayon 3$\rm \blue O'A=O'B=O'C

a) Coordonnées de O'

O' est l'intersection de la médiatrice de [AB] et de la médiatrice de [AC] que nous avons calculé tout à l'heure .
Ainsi , les coordonnées 3$\rm (x;y) de O' vérifient le systéme :

3$\rm \{{-4x+6y+14=0\\3x+4y=0

3$\rm c'est-a-dire ( je te passe la résolution , je pense que tu sais faire )

3$\rm \{{x=\frac{28}{17}\\-\frac{21}{17}

3$\rm On obtient alors :

3$\rm \fbox{O'\(\frac{28}{17};y=-\frac{21}{17}\)}

b)Rayon du cercle
Avec les coordonnées de O' , il est à présent facile de déterminer le rayon O'A du cercle :

3$\rm \begin{tabular} O'A=\sqrt{\(3-\frac{28}{17}\)^{2}+\(4+\frac{21}{17}\)^{2}}\\O'A=\sqrt{\frac{23^{2}}{17^{2}}+\frac{89^{2}}{17^{2}}}\\O'A=\sqrt{\frac{8450}{289}}\end{tabular}

Nous pouvons alors conclure sur l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC qui est :
4$\rm \blue\fbox{\fbox{\(x-\frac{28}{17}\)^{2}+\(y+\frac{21}{17}\)^{2}=\frac{8450}{289}}}


3) Nous avons déterminé dans le grand 1) :

  • \vec{AB}\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}

  • 3$\rm \vec{AC}\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}



On a alors :

3$\rm\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\times (-3)+(-6)\times (-4)

c'est à dire :
5$\rm \blue\fbox{\fbox{\vec{AB}\cdot\vec{AC}=12}}



4) Avec 3$\rm M(x;y) , nous obtenons :

3$\rm\vec{MA}\(3-x\\4-y\)
3$\rm\vec{MB}\begin{pmatrix}7-x\\-2-y\end{pmatrix}

Par conséquent :

3$\rm \begin{tabular}\vec{MA}\cdot\vec{MB}&=&(3-x)(7-x)+(4-y)(-2-y)\\&=&21-3x-7x+x^{2}-8-4y+2y+y^{2}\\&=&x^{2}-10x+y^{2}-2y+13\\&=&x^{2}-10x+35+y^{2}-2y+1+13-35-1\\&=&(x-5)^{2}+(y-1)^{2}-23\end{tabular}

Nous on déduisons :

3$\rm \vec{MA}\cdot\vec{MB}=2\Longleftrightarrow (x-5)^{2}+(y-1)^{2}=25

Pour conclure , l'ensemble des points M du plan tel que 3$\rm\red\vec{MA}\cdot\vec{MB}=2 est le cercle d'équation 3$\rm \red (x-5)^{2}+(y-1)^{2}=25 , c'est-à-dire :
5$\rm \fbox{\fbox{\blue Le cercle de centre I(5;1) milieu de [AB] et de rayon 5


Voila j'ai fini pour la premiére partie


Jord

Posté par
Nightmarere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 13:43

Bon allez , en avant pour le second

---------------------------------------------
II)Soit un repère orthonormé (O,,).

1)Soit les points A(-2,-1) et B(6,5). Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB].

2)Déterminer les coordonnées des points d'intersection de ce cercle et de la droite (D) d'équation y=-x+3.

--------------------------------------------

1)Nous savons que l'équation d'un cercle de centre 3$\rm\red I(a;b) de rayon r est :
3$\rm \fbox{(x-a)^{2}+(x-b)^{2}=r^{2}}

Il nous faut donc déterminer les coordonnées du milieu de I de [AB] et calculer la moitié de la longueur AB

a)coordonnées de I
3$\rm A(-2,-1) et B(6,5)
3$\rm \Longleftrightarrow
3$\rm I\(\frac{-2+6}{2};\frac{5+(-1)}{2}\)
\rm c'est-a-dire :
4$\rm \red \fbox{I\(2;2\)}

b)calcul du rayon
3$\rm r=\frac{1}{2}AB
\Longleftrightarrow
3$\rm r=\frac{1}{2}\sqrt{(-2+6)^{2}+(-1+5)^{2}}
\Longleftrightarrow
3$\rm r=\frac{1}{2}\sqrt{16+16}
\Longleftrightarrow
3$\rm r=\frac{1}{2}\times 6
\Longleftrightarrow
4$\rm \blue \fbox{r=3}

c)Conclusion

On en conclut que l'équation du cercle de diamétre [AB] est :
4$\rm \blue \fbox{\fbox{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=9}}


2)les coordonnées des éventuels points d'intersection entre ce cercle et la droite (D) d'équation y=-x+3 sont les couples 3$\rm (x;y) vérifiant le systéme :

3$\rm \{{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=9\\y=-x+3

En susbstituant y dans la premiére ligne :

3$\rm \begin{tabular}(x-2)^{2}+(-x+3-2)^{2}=9&\Longleftrightarrow& (x-2)^{2}+(-x+1)^{2}-9=0\\&\Longleftrightarrow&x^{2}-4x+4+x^{2}-2x+1-9=0\\&\Longleftrightarrow&2x^{2}-6x-4=0\\&\Longleftrightarrow&x^{2}+3x-2=0\end{tabular}

Le discriminant de ce dernier trinôme est :
3$\rm \Delta=17

On en déduit les deux solutions :

4$\rm \fbox{ x_{1}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2} ou x_{2}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}

On en conclut que (D) coupe le cercle en deux points distincts :
5$\rm \blue\fbox{\fbox{K(x_{1};3-x_{1}) et L(x_{2};3-x_{2})}}



jord

Posté par
Nightmarere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 16:55

Re

Je me lance pour le 3éme

---------------------------------------------
III)

1)Calculer la valeur exacte de cos 75° et de sin 75°.

2)On sait que cos x=2/5 et x [0°;90°]
Calculer alors sin x, cos 2x et sin 2x.

3)Vérifier que (sin x - cos x)² = 1-sin 2x
---------------------------------------------

1) Il faudrait que tu me précises ce qui est sencé être connue ou pas pour savoir ce que j'ai le droit d'utiliser ( étant donné qu'il y a pas mal de moyen d'y arriver ...)

2) Nous allons utiliser trois relations bien connues :

4$\rm\blue\fbox{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 (1)\\cos(2x)=1-2sin^{2}(x) (2)\\sin(2x)=2\mathrm{sin}\(x\)cos(x) (3)}

a)calcul de sin(x)

En utilisant la valeur de cos donnée et la relation (1) , on obtient :

3$\rm sin^{2}(x)+\(\frac{2}{5}\)^{2}=1
3$\rm \Longleftrightarrow
3$\rm sin^{2}(x)=\frac{25}{25}-\frac{4}{25}
3$\rm \Longleftrightarrow
3$\rm sin^{2}(x)=\frac{21}{25}
3$\rm \Longleftrightarrow
4$\rm \red\fbox{sin(x)=\frac{\sqrt{21}}{5}}

b)calcul de cos(2x)

En utilisant la valeur de sin calculée en a) et la relation (2) on obtient :

3$\rm cos(2x)=1-2\times\(\frac{\sqrt{21}}{5}\)^{2}
3$\rm \Longleftrightarrow
3$\rm cos(2x)=1-\frac{41}{25}
3$\rm \Longleftrightarrow
4$\rm \red\fbox{cos(2x)=-\frac{16}{25}}

c)calcul de sin(2x)

En utilisant la valeur de cos donnée , la valeur de sin calculée et la relation (3) on obtient :

3$\rm sin(2x)=2\times\(\frac{\sqrt{21}}{5}\)\times \frac{2}{5}
3$\rm \Longleftrightarrow
3$\rm \red\fbox{sin(2x)=\frac{4\sqrt{21}}{5}}

d)Conclusion

Un petit résumé des résultats :
5$\rm \blue\fbox{\fbox{sin(x)=\frac{\sqrt{21}}{5}\\cos(2x)=-\frac{16}{25}\\sin(2x)=\frac{4\sqrt{21}}{5}}}


3) Ici , nous allons développer et utiliser la relation (1) et (3) du 2)

3$\rm \begin{tabular} (sin(x)-cos(x))^{2}&=&sin^{2}(x)-2sin(x)cos(x)+cos^{2}(x)\\&=&1-2sin(x)cos(x) (relation (1))\\&=&1-sin(2x) (relation (2))\end{tabular}


Au final , on obtient bien la relation :
5$\rm \blue (sin(x)-cos(x))^{2}=1-sin(2x)



Jord

Posté par na_h (invité)re : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 17:20

Et pour le temps ??? En combien de temps penseriez vous l'avoir fais ???

Posté par
Nightmarere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 17:24

Serieusement , si on connait bien ses relations et son cours , et même si on soigne la présentation , c'est largement faisable en 50min , voir même moin !

Moi personnelement en tapant tout à l'ordinateur avec latex et Html j'ai mis 1h30 cumulés . en sachant que taper à l'ordinateur les réponses occupe 2/3 du temps de réponse , j'ai alors mis 30 minute pour répondre . Maintenant comptes 10 bonnes minutes pour la rédaction . C'est bien faisable en 40 minutes


Jord

Posté par
infophilere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 17:56

Je n'en reviens pas...:o:o

Posté par
Nightmarere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 18:01

De ?

Posté par
lyonnaisre : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 19:52

de la beauté de ta réponse ( je fini sa phrase lol )

Impressionnant


lyonnais

Posté par
infophilere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 19:58

>>Merci Lyonnais, j'étais sous le choc, toute la phrase n'est pas sortie

>>Nightmare

Quel exploit
Rien à ajouter, on commence à s'y faire à ton talent

>>Na_h

Tu t'imagines le temps qu'il t'a consacré ? Il est fantastique Jord

Bonne soirée tout lmonde
Kevin

Pour moi ca va bientôt etre la nuit, car je suis exténuer

Posté par
Nightmarere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 20:00

Lol merci vous deux

Posté par na_h (invité)re : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 23:03

Je te remercis nightmare pour le temps que tu as passé a faire mon exos, maintenant je peu le relire et le comprendre en toute simplicitée...

Est-ce-que quelqu'un a un exercice a me faire faire dans le même style que celui-là, si vous avez le temps. Je n'ai pas de manuel en rapport avec ceci...
Je serais de retour vendredi.

Merci, a bientôt.

Posté par
Nightmarere : Contrôle sur les Produit scalaire 02-05-05 à 23:10

De rien na_h , ça m'a fait plaisir de passer du temps sur cet exercice

Pour les exercices , as-tu essayé ceux proposé sur cette fiche du site ?


Jord

Posté par
infophilere : Contrôle sur les Produit scalaire 03-05-05 à 18:34

Le problème est qu'elles ne sont pas corrigées...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !