Bonsoir
Soit
J'ai calculé le rayon de convergence de cette série entière. J'ai trouvé:
Alors
Alors la série converge normalement sur le disque ouvert
Mais pour les nombres complexes de module ? Est-ce que la série diverge ou converge?
Comment étudier ce cas? En général quand ?
Merci
Hello,
Je crois que tu t'es trompé dans le calcul du quotient, tu as zappé un 1/(n+1), du coup R=+oo.
Il existe un equivallent connu de n! il me semble (je ne m'en souviens plus d'ailleurs, c'est du style (n/e)n). Mais peut-être est-ce une piste dont on peut tirer parti ...
Voilà j'ai retrouvé : n! (n/e)N.2n.
Donc pour z = 1/e.eit, tu te ramène à la convergence de la série eint/2n
JE dis pas que c'est facile, mais il est évident que ca diverge pour t = 0 [2] et que ca converge pour t = [2]
Pour le reste, je ne sais plus comment on fait ....
J'ai refait le calcul, et je trouve le même résultat.
J'ai fait un typo:
Merci, pour l'explication. Mais je voudrais voir un exemple. Comment traiter ce cas directement?
Moi je pose , et ça ne me donne aucun résultat.
raa je suis bête. Ok R=1/e. Comme a dit amaury, un équivalent de n! sera très utilie pour discuter de ce qui se passe en -1/e et 1/e.
pour 1/n : on peut poser avec . Cela revient à chercher la nature de ; la méthode : transformation d'Abel. On trouve que la série converge seulement pour ce qui est rassurant car on sait que la série harmonique diverge.
D'ailleurs, en dérivant la somme de la série entière on peut calculer sa dérivée puis l'intégrer ; on trouve
pour 1/n² : là pas de soucis, puisque pour z de module 1, on a . Donc pour tout z de module 1, converge absolument donc converge.
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