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Convergence de séries entières

Posté par
cafeadicto 15-02-09 à 15:34

Bonjour,

J'ai un petit exercice d'étude de séries entières je dois déterminer le rayon de convergence de séries entières \sum{a_{n}z^{n} et étudier leur convergence sur le bord du disque de convergence. Une plus deux moitiés me résistent:

1: pour a_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}, je n'ai rien su faire

2: pour a_{n}=a^{\sqrt{n}}, a>0, je trouve le rayon de convergence égal à 1 mais je n'arrive pas à faire l'étude sur le bord du disque

3: pour a_{n}=1 si n paire 0 sinon, je trouve le rayon de convergence égal à 1 mais je n'arrive pas à faire l'étude sur le bord du disque

Merci d'avance pour vos indications à venir!

Posté par
Camélia Correcteurre : Convergence de séries entières 15-02-09 à 15:55

Bonjour

1: On a 1\leq a_n\leq n pour tout n. Donc le rayon est 1 (avec Cauchy, où par comparaison...)

Comme pour |z|=1 |a_nz^n| ne tend pas vers 0, la série diverge en tout point du bord du disque.

2: Pour celui-ci il faut probablement discuter selon que a est plus grand ou plus petit que n, mais j'avoue que ça ne me saute pas aux yeux! Enfin, ça diverge partout sur le bord si a=1, donc par comparaison c'est vrai aussi pour a > 1. Il se passe peut-être des merveilles pour a < 1...

3: Il s'agit de la série \sum z^{2n} qui diverge si |z|=1!

Entre nous soit dit, tes exemples ne sont pas les plus emballants...

Posté par
cafeadictore : Convergence de séries entières 15-02-09 à 16:02

Merci!


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