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Coordonnée barycentrique, 3 points alignés, déterminant = 0 ?
Bonsoir à tous
Soit R = (A,B,C) un repère affine d'un plan affine X.
Trois points sont alignés si et seulement si le déterminant de leurs Coordonnées Barycentriques Normalisées (CBN) est nul.
preuve:
[=>] Soient P
P' 2 points différents de X de CBN:
P(p,q,r)
P'(p',q',r') dans R(A,B,C).
Soit M de CBN (x,y,z) dans R, M
(PP') <=> 
K / M = Bar ( P P' )
( 1-)
Supposons M,P,P' alignées
K / M = P + (1-)P'
=> M a pour CBN dans R: (x,y,z) = (p,q,r) + (1-)(p',q',r')
donc det(x y z) = 0
(p q r)
(p' q' r')
Question:
1). Pourquoi conclut-on directement que le déterminant est nul ?
Merci d'avance pour votre explication 
Salut shelzy,
ça vient du fait que juste avant tu as montré que la première ligne de ta matrice est une combinaison linéaire des deux autre lignes.
Salut romu
ok, c'est ce qui me semblait, mais je n'étais pas tout à fait certaine, merci
Sinon j'ai une autre question:
Est-ce que dire ceci:
M(PP') <=> K / M = P + (1-)P'
implique P,P',M alignés, est-ce que c'est toujours vrai ?
Ok merci.
Désolée, mais j'ai encore une toute petite question:
Deux équations:
u x + v y + w z = 0 avec u,v,w non tous 3 égaux
u' x + v' y + w'z = 0 avec u',v',w' non tous 3 égaux
définissent la même droite affine si et seulement si (u,v,w) et (u',v',w') sont proportionnels.
[<=] évident
[=>] en Coordonnées barycentriques normalisées
M(x,y,z)D <=> u x + v y + w z = 0
u' x + v' y + w' z = 0
x + y + z = 1
MD <=> A * (x) = (0)
(y) (0)
(z) (1)
où A = ( u v w )
( u' v' w' )
( 1 1 1 )
dim D = 1 = dim Ker LA
etc.....................
Question: comment sait-on que le noyau est de dimension 1 ?
Merci d'avance pour ton explication
A est rang 2, vu que u,v,w non tous 3 égaux, u',v',w' non tous 3 égaux, (u,v,w) et (u',v',w') sont proportionnels. D'après le théorème du rang, Le noyau est de dimension 1.
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