En fait je voudrais montrer que Pi est irréductible sur Q(Pi). Je n'y arrive pas de façon très directe.

Je suppose par l'absurde que Pi=g(Pi)h(Pi) ou g(Pi) et h(Pi) appartiennent à Q(Pi).

Si la réponse à ma question initiale est affirmative, alors on écrit g(Pi)=g1(Pi)/g2(Pi) et h(Pi)=h1(Pi)/h2(Pi), et on trouve alors que le polynôme rationnel X*g2(X)*h2(X)-h1(X)*g1(X) annule Pi. Reste à montrer que ce polynôme est pas nul, et on a une contradiction avec la transcendance de Pi.

Si quelqu'un a un moyen plus direct, je suis preneur !

Salut

La réponse à ta première question est "oui".

Salut !


Pour la deuxieme question, Pi etant transcandant, on a un isomorphisme

f: Q(X) -> Q(Pi)
F(X)->F(Pi)

donc tu as juste à raisoner comme si Pi etait une variable formelle...

le problème dans ta question c'est que "Pi est iréductible sur Q(Pi)" n'as aucun sens : Q(Pi) est un corps, Pi un element de ce corps, il n'y a donc aucune notion d'iréductibilité qui s'applique... (on peut tres bien ecrire Pi = Pi^2 *1/Pi par exemple...

Merci à tous deux,

en fait, je veux montrer qu'un polynôme de Q(Pi)[X] est irreductible, et si je fais Eisenstein avec Pi, ça marche. Encore faut-il montrer que Pi est irreductible sur Z(Pi) (et pas Q(Pi), c'est ça ?).

Grrr je voulais dire "Encore faut-il montrer que Pi est irreductible sur Z[Pi] (et pas Q(Pi), c'est ça ?)".
Mais comment montrer ça...? Les éléments de Z[Pi] sont tous des polynômes en Pi ? A ce moment là, si on avait Pi=P(Pi)Q(Pi), Pi serait annulé par le polynôme X-P(X)Q(X), et ce polynôme n'est pas nul pour des raisons de degré, donc on a une contradiction avec la transcendance de Pi. Ca va ce coup ci...?

Pi comme le suggère Ksilver tu peux le remplacer par une variable non utilisée comme Y cela rendra les choses plus lisibles car au début j'ai pris Pi pour un polynôme
comme Z[Y] est isomorphe à Z[Pi]
on a aussi leur corps de fraction
Q(Y) est isomorphe à Q(Pi)
et les anneaux de polynômes sur ces corps sont aussi isomorphes
donc Eisentein va marcher
et Pi est irréductible sur Z[Pi]
par isomorphisme d'anneaux signifie  Y est irréductible sur Z[Y] ce qui est vrai
comme tu le dis pour des raisons de degré mais je précise un peu
si Y=(aY+b)(c) dans Z[Y]
ac=1 donc a=c=±1 et b=0
c est inversible dans Z et Y est donc bien irréductible sur Z[Y]