Bonjour,

Pour la 4 aucun espoir : c'est faux !

Pour la 1  si  d  est le degré de ton polynôme irréductible alors  pour  a  une racine , Fp(a)  est un corps qui est un  Fp espace de dimsension d  donc son cardinal est  p^d. Or   X^[/sup]p[sup]d-X  admet exactement  p^d  racines...

pour 3) : il faut montrer que les racine de X^(p^n)-X sont exactement les element de Fp^n. du coup Fp^n est le corps de décomposition de X^(p^n)-X, et il est donc unique à isomorphisme (non unique !) pres (en tant que corps de décomposition.


pour 1) , de facon général le corps de décomposition d'un polynome iréductible dans Fp est en géneral Fp^n ou n est le degrée du polynome.
donc ici c'est Fp^d, ou d est le degrée de ce polynome... qui peut-etre n'importe qu'elle diviseur de n.


pour 4) comme on vient de le dire, les element de Fp^n sont exactement les points fixe de x->x^(p^n), du coup les inclusion ne sont pas celles que tu donne mais Fp^n inclu dans Fp^m si et seulement si n divise m.


et pour 2)... qu'appelle tu un polynome ireductible "effectif" ?

Je pense qu'il veut dire, "comment on fait pour le trouver? (cf 1))". La réponse est donnée par l'algo de Berlekamp, THE algo de factorisation sur les corps finis.

Bonsoir ;

3) Ok on a donc l'existence et l'unicité des corps finis assez rapidement en passant par le corps de décomposition ?

4) Tu le prouves comment ? Dans Demazure ils n'ont pas l'air de faire comme toi, ça m'intéresse si t'as plus simple

1) Ok

2) Je sais pas c'est ce qu'a écrit mon prof, je lui demanderai.

3) Oui, à condition de ne pas oublier que l'unicité du corps de décomposition nécessite la commutativité (ici c'est acquis via Wedderburn, mais ne pas oublier).

meme pas Schumi : En france, un corps est toujours comutatif :p (on pinaillera jusqu'au bout :p )

infophile :

3) on à l'unicité assez facilement... pour montrer l'existence il faut travailler un peu plus pour justifier que le corps de décomposition de x^(p^n)-x est bien un corps à p^n élement : mais cela vient du faire x->x^(p^n) est  un morphisme de corps en caractéristiques p.


4) je sais pas si c'est plus simple, mais Fp^n c'est les points fixes de l'application f^n (ou f désigne l'application de Frobenius x->x^p, et le ^n le n-iemme itéré de f)
or si on prend un x quelconque dans une cloture algébrique de Fp (on peut aussi le prendre dans une extension quelconque de Fp si on n'aime pas utiliser les clotures algébrique...), et qu'on regarde la suite des f^n(x) elle est périodique (car x est algébrique et donc appartiens à une extension fini de Fp : Fp^k et k est alors une période), du coup les n telle que f^n(x)=x ca va etre exactement les multiples de la périodes.

du coup x est dans Fp^n si et seulement si n est un multiple de T, ou T est la période de la suite précedente, c'est à dire le plus petit n telle que x est dans Fp^n. ce qui est une reformulation du résultat qu'on veut montrer...