Bonjour,

X⁴+X³+1 =0  est une équation de degré  4  sur  le corps à deux éléments.

  d'abord il n'y a aucune solution dans  F2, ensuite si  x⁴=x  , x  n'est as non plus solution donc aucune solution dans  4.
Donc le polynôme est irréductible et une racine  x  est forcément  dans  F2(x)= F16.

aucune solution dans    voulais-je écrire

Bonjour,
X^4+X^3+1 est un polynome a coeff dans F_2... Il ne possede pas de racine, il est soit irreductible soit il se factorise en P_1P_2 qui sont de degré 2, et irreductibles.
S'il est irreductible alors son corps de rupture (et de décomposition c'est la meme chose sur un corps fini) est de degré 4, c'est donc F_{2^4} soit F_16.
S'il ne l'est pas ben il possède une racine dans F_{2^2}=F_8, comme 2|4, F_8 est inclus dans F_16

attention F_8  n'est pas dans  F_16  !

2x2 =  4  et pas 8  

Oui, non c'est F_{2^2} qui fait bien sur F_4.

bonjour.....

mes lointains souvenirs....

dans R
mais dans F_16 de caractéristique 2 , on a : 3 = 1
donc (1+x)^3=1+x^3

on a aussi:


posons v=w-1, on veut résoudre:


soit
on a donc:
1+u+u^2+u^3+u^4=0

donc , en multipliant pas (1-u)



or est d'ordre 15, donc il possède un élément d'ordre 5 (Sylow)

Dans un corps de caractéristique 2 on a pas que (1+x)^3=1+x^3, mais ca a l'air d'etre une coquille vu que par la suite c'est juste

(Comme F_{16}* est cyclique... pas besoin d'invoquer les théorèmes de Sylow pour trouver un element d'ordre 5...)

à Rodrigo....

oui, c'est une coquille, à force de copier-coller pour le LATEX, on ne voit plus les énormités qu'on écrit....

Bonjour et merci a tous!
Je pense avoir compris mais je ne suis pas très à l'aise sur les corps de rupture: Le quotient de F2 par notre polynôme(ou plutôt par l'idéal engendré par ce polynôme)est exactement le corps de rupture ?

le quotient de  F2[X]  oui

Bonjour

Tu peux regarder ici: Corps finis (Remise en ordre) c'est un peu dans tous les sens, mais l'important y est dit!