Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Corps fixe de Gal(K(X)/K) ; c'est juste ?
Bonjour,
je dois trouver le corps fixe de G=Gal(K(X)/K), c'est à dire l'ensemble des éléments F du corps des fractions K(X) tels que f(F)=F pour tout f automorphisme de K(X) qui laisse invariant K.
On appelle Fix(G) cet ensemble.
On suppose que K est infini.
Je veux montrer que Fix(G)
K. Et c'est là que je ne vois pas comment faire. J'ai tenté quelque chose que voici :
Je prend une fraction F=P/Q, où P et Q sont des polynômes de K[X]. on note n=deg(P)+deg(Q). Pour x dans K, j'appelle le sous ensemble de K où F(x) n'est pas définie. On a précedemment montré que les translations étaient dans G. Pour u dans K, on a donc F(x)=F(x+u), partout où c'est défini.
Soient distincts dans K. J'appelle
les sous ensembles respectifs de K où
ne sont pas définis.
Soit \
Li ; A est infini.
Soit a dans A. Alors F(a)=F(a+ui), pour n+1 valeurs de i, donc F(a)-F(a+X) s'annule au moins n+1 fois. Or F(a)-F(a+x)=R(x)/S(x), où R est un polynôme de degré au plus n (réduction au même dénominateur). R a donc n+1 racines alors qu'il est de degré n : il est donc nul.
On a donc F(a)-F(a+X)=0, soit F(a+x)=F(a), pour tout x dans A.
F(X) est donc constant : F(X)
K.
Mes problèmes sont que :
- J'ai montré que F est constant seulement sur A et pas sur K.
- Est-ce que je ne confonds pas "polynôme" et "évaluation d'un polynôme en un point" ?
Merci de vos commentaires !
F(a)-F(a+X)= 0 est une identité . Donc tu en déduis (éventuellement en changeant X en X-a que F(X) est une constante.
Pour les corps infini les applications polynômes et les polynômes peuvent s'identifier...c'est un peu ce que tu as prouvé dans ta preuve d'ailleurs.
Oui mais on a cette identité F(a)-F(a+X)= 0 pas sur K entier, mais seulement sur ce que j'ai appelé A. Je peux donc pas conclure que F est constante sur K...
Dans ma preuve, j'ai l'impression d'avoir identifié les applications polynômes et les polynômes, mais pas d'avoir démontré que l'identification est possible...
Oui mais on a cette identité F(a)-F(a+X)= 0 pas sur K entier, mais seulement sur ce que j'ai appelé A. Je peux donc pas conclure que F est constante sur K...
Si justement! Le slogan ici est "un polynôme nulle en une indéterminée nulle en une infinité de points est nul tout court".
Oui mais F(X) c'est pas un polynôme, c'est une fraction. Je sais qu'elle est constante sur son ensemble de définition mais c'est tout...
Qu'à cela ne tienne: F(X)=P(X)/Q(X) est constant sur A donc sur A toujours P(X)-(constante)*Q(X)=0. Le polynôme P(X)-(constante)*Q(X) est nul sur un truc infini donc nul tout court et F(X)=constante.
La théorie de Galois infinie c'est vraiment pas mon truc. Néanmoins, vu que ça a l'air marrant, j'essaierai d'y jeter un oeil à l'occas. lolo a l'art et la manière de connaître des résultats tordus de ce type là, il te sera bien plus utile que moi.
Bonsoir,
En fait c'est même pas un groupe de Galois ici, ton extension n'est pas galoisienne, elle n'est même pas algébrique...
Disons alors que je dois juste trouver les points fixes de K(X) pour l'ensemble des automorphismes de K(X) qui laissent K invariant point par point...
Bonjour,
alors en fait comme la translation par u est un automorphisme,
F(X+u)=F(X) est directement une identité tu n'as pas besoin de repasser par l'ensemble des points de définitions. ça te fais une preuve plus courte.
(ensuite les extensions Galoisienne infinie ça existe mais je n'y connais presque rien (ou j'ai oublié))
Oui les extensions galoisiennes infinies existent, mais en fait elles ne sont quasiment jamais problématiques parce que tout se ramène toujours a des extensions finies, tout simplement parce que si tu prend un element dans un extension galoisienne quelconque, et que tu regarde le coups qu'il engendre, alors si l'extension est galoisienne elle est finie (en fait toujours finie mais pas necessairement galoisienne). Comme on peut faire ça pour tout les points, ben...ca reste simple.
Cela nous invite a mettre une topolgie sur les groupe de galois des extensions infinie disons K/k, qui est la topologie de krull, définie par exemple par une base de voisinage en l'identité, c'est les groupes Gal(K/L) pour L/k extension galoisienne finie. Muni de cette topologie, Gal(K/k) est un groupe profini (i.e) limite projective de groupe finis (a la fois algébriquement et topologiquement), il est donc compact et on a un isomorphisme topologique de G sur la lim inverse des G/N ou N parcours tous les sous groupes normaux de G, les fleches de projection étant celles auxquelles on pense.
La correspondance de Galois est alors fort simple, Il y a bijection décroissante en les sous groupes fermés de Gal(K/k) et les sous extensions K/L/k le groupe de galois de K/L étant le sous groupe fermé en question. L'extensions est toujours galoisienne ssi le sous groupe est distingué, et enfin une extension L/k est finie ssi Gal(K/L) est ouvert.
tout ceci n'etant pas compliqué à démontrer (un peu longuet mais bon...)
Merci à Rodrigo pour ces rappels !
Est-ce que Galoisienne infinie c'est pareil que normale et séparablement engendrée (en degré de transcendance fini ?) ou la terminologie est-elle réservée aux extensions algébriques ?
Heu a ma connaissance ce n'est réservé qu'aux extensions algébriques, normales et séparables (donc galoisiennes quoi!!) d'ailleurs en general les groupes qui interviennent sont les groupes de galois dits absolus, a savoir le groupe de Galois de Ksep/K, ou Ksep est la cloture séparable de K.
D'ailleurs je vois mal comment definit l'action de galois sur X dans k(X)/k, par exemple, a part l'identité, mais cela revient à faire agir galois de la façon classique sur un espace de polynome où
Oui en fait je confirme que ce serait pas interessant si on se donne une extension K de type finie de k alors on la décompose en une extension algébrique d'une extension transcendante pure, galois agit au niveau de K/k[t1,...,t_n] de la manière standard, et sur k[t1,...,t_n]/k, les seuls automorphismes non triviaux sont les permutations des indeterminées.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac