Bonjour,
je ne comprend à peu près rien à ce que tu dis.

Si k est non commutatif, la condition k différent de R est triviale.
Ensuite pourquoi R serait inclus dans k, est-ce une hypothèse ?

Ensuite on cherche quel corps ? R(x) ?

D'où ca sort que R(x) doive être de dimension 2 ?

Bonjour,

otto->C'est vrai que cet énoncé seul n'est pas très clair si on n'a pas lu le topic précédent de leflamenquiste.K est bien inclus dans R et on cherche R(x).

Le fait que R(x) est de dimension 2 est obligatoire me semble-t-il puisque tout polynôme à coefficients dans R et de degré strictement supérieur est réductible.

leflamenquiste->Considère P(x)=X²+1. P est un polynôme de K à coefficients réels, irréductible sur R.
Donc, L= R[X]/(P) est une extension de R de degré 2, il existe donc i dans L tel que L=R(i) et i racine de P.

Reste à prouver que R(i)=R(x).

Soit Q le polynôme minimal de x sur R.Q est unitaire et irréductible sur R, donc de degré 2 (puisque R(x) contient strictement R).On peut donc écrire x²+ax+b=0 avec a²-4b < 0.

Dans une clôture algébrique Y de K, soient p et q les racines (nécessairement distinctes) de Q.(donc x vaut p ou q).

On a i²=-1 dans Y, donc a²-4b=i².A²=(iA)² avec A réel non nul.

On s'aperçoit qu'on a forcément p=(-a-iA)/2 et q=(-a+iA)/2, donc p et q sont dans R(i).

Conclusion: R(x) est inclus dans R(i).Comme ces deux extensions de R sont de même degré, elles coïncident.


Tigweg

merci tigweg
et désolé otto c'est vrai que j'aurais du posté cela sur l'autre topic ou rappeler toutes les hypothèses de départ
merci encore

Avec plaisir, leflamenquiste