Bonjour

Non, c'est pas juste ce que t'as écrit ... Une coupure (de Dedekind) d'un ensemble (totalement ordonnée) est un couple d'ensembles et non un ensemble qui vérifient quelques propriétés. Tu peux voir sur Wikipédia pour mieux comprendre.

Il se peut aussi que je suis en train de dire des bêtises ! Donc attends l'avis des autres ..

je sors cela de wiki...mais dans un second temps il ne prenne pas la déf. de Dedekind).

en outre, même problème sur un cours:

Citation :
Une coupure de Q est une partie A de Q, différente du vide et de Q tq pour tout x ds A et y ds Q, si alors (là on en parle pas de couple de parties ... car cette dernière relève une """ambiguité""" (cf wiki))
ils disent que R est l'ens de coupures et première chose étonnante ils notent la relation entre les coupures (pas bien malin pour des ensembles ...).
et justement deuxième chose étonnante (ms en fait qui va avec la première), on identifie Q avec son image ds R par l'application

là je ne comprend pas la notation de l'ens. car on envoie un élément sur un ens. (une coupure) application ???

Ah il s'avère que j'ai une bêtise alors ...

En fait la raison pour laquelle on a pu dire que racine(2) est représenté par cette coupure c'est juste à cause de l'injectivité de cette application que tu viens de mentionner et donc pour chaque coupure il existe un seul antécédent de IR par cette application. On dit qu'il est représenté par cette coupure.

Je sais pas de quelle relation d'ordre tu parles mais sinon oui il y a une relation d'ordre entre les coupures de Dedekind (cf wikipedia)

Citation :
Soient (A,B) et (C,D) deux coupures de Dedekind de E. On définit un ordre sur l'ensemble des coupures de Dedekind de E en posant :

    .

Sinon, je laisse ça aux autres, je ne me suis jamais intéressé à fond à ces coupures et donc je peux dire plusieurs bêtises

je laisse cogiter cela cette nuit, je dois y aller.

merci @+

Bonjour, je réponds avec intérêt car la construction de R a fait l'objet de mon TIPE aux ENS (qui m'a d'ailleurs valu un 19, beau sujet )

A l'origine, une coupure de Dedekind de Q était un couple d'ensembles (A,B) tel que A est non vide, (A,B) est une partition de Q, tout élément de A est inférieur aux éléments de B, et A n'a pas de plus grand élément. Cette définition n'est pas maniable.

La "vraie" définition est la suivante: On appelle coupure de Q toute partie C de Q telle que
- C n'est pas vide et n'est pas Q
- C est une section commençante (pour tout x dans C et tout y dans Q tel que y<x, y est dans C)
- C n'a pas de plus grand élément


A partir de la, on définit R comme l'ensemble des coupures de Q.

On peut alors définir l'application
F : Q -> R
x -> {y de Q tels que y<x}

Qui réalise un "plongement" de Q dans R.

il faut bien entendu vérifier que ceci est bien défini, c'est à dire que les éléments image sont bien dans R (tel qu'on l'a défini ici)

On peut définir un ordre sur les coupures : l'inclusion. On vérifie que c'est bien un ordre total.

A partir de la on peut facilement montrer a propriété de la borne supérieure, et la densité de Q dans R

Il faut bien comprendre qu'ici, R est EGAL a un élément de P(P(Q)), c'est une construction et non pas une facon de "retrouver" R.

Donc...


si on prend compare x² et 2......

il y a 2 cas possibles pour un élément , POSITIF...x....de Q

x²<2 ou x²>2......


On décide d'isoler l'ensemble E+ des éléments x positifs tels que x²>2.....

et forcèment il reste les autres élèments de Q: ceux qui sont négatifs et ceux qui sont positifs avec x²<2......on npte E- cet ensemble....

En faisant ainsi, on a COUPE Q en 2 parties disjointes
E- et E+ telles que pour tout couple de rationnels (x;y)
si x appartient à E- et y appartient à E+ alors x <y