Bonjour freddou

Pour commencer, il faut alléger les notations!

x R y <=> x - y dans F.

Pour comprendre qui vit dans E/F, considère un x n'importe où dans E.

S'il est déjà dans F, on l'identifie à 0.

S'il n'est pas dans F, on l'identifie à tous les y de x + F.

Ainsi, pour tout f et tout f' de F, x + f et x + f' sont dans la même classe, et vice versa.

En gros, la classe de tout x de E (donc tous les gens à qui on l'identifie), c'est l'espace affine x + F passant par x et de direction F.

Donc, dans E/F, les éléments sont des parties x+F de E.

On aimerait munir E/F (l'ensemble de ces parties) de deux lois qui en fassent à son tour un espace vectoriel.


Pour cela, on aimerait bien poser (x + F) + (y + F) = (x + y + F)

c'est-à-dire (classe de x) + (classe de y) = (classe de x + y).


Encore faut-il s'assurer que quand on ajoute deux éléments quelconques qui sont l'un dans la classe x+F de x, l'autre dans la classe y+ F de y, on récupère tout le temps un élément qui est dans la classe x+y + F de x + y.

Si c'est le cas, on pourra munir E/F d'une opération interne +, puis vérifier que, muni de cette loi, il possède une structure de groupe.

Restera alors à raisonner de même pour prouver qu'on peut définir k.(x+F) comme étant kx + F pour tout x de E et tout scalaire k.

oki merci beaucoup je vais voir ce que ca donne

Je t'en prie!