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cylicité
Bonjour;
Je me suis bloquée dans cet exerice dont la première question est indépendante de la suite de l'exercice:
exercice:
1.Montrer que tout groupe fini d'ordre <=5 est abélien.
Soit (G; .) un groupe. Montrer l'équivalence de:
2.i) G est abélien.
ii) Pour tout $a, b \in G$, on a: $(ab)^2 = a^2b^2.=
iii) Pour tout $a, b \in G$, on a: $(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$.
iv) L'application f de G dans G définie par f(x) = x^{-1}$ est un automorphisme.
3. En déduire que si pour tout $x \in G$, $x^2 = e^$, alors G est abélien.
Merci d'avance
Bonjour,
pour la 1)
Notons n l'ordre du groupe
Si n=1 c'est trivial
si n est premier (cas n=2, 3 et 5) alors d'après le théorème de Lagrange on sait que l'ordre de tout groupe divise l'ordre du groupe -> l'ordre de tout sous groupe est 1 ou n. Soit a un élément différent de l'élément neutre. Alors le sous-groupe engendré par a est d'ordre >1 (car il contient au moins a et l'élément neutre -> l'ordre de ce sous-groupe est n -> le groupe est cyclique donc abélien
Il reste le cas n=4.
Soit a un élément différent de l'élement neutre. On note <a> le sous-groupe engendré par a. Il y a alors deux cas :
Soit <a> est d'ordre 2. Montre qu'alors le groupe est isomorphe à Z/2Z * Z/2Z.
Soit <a> est d'ordre 4. Alors le groupe est cyclique et donc abélien
Je regarde les autres exos
Sauf erreurs,
1emeu
Oups pardon
pour le cas n=4 il y avait une petite coquille :
Soit a un élément différent de l'élement neutre. Il y a alors deux cas :
Soit tous les éléments non nuls sont d'ordre 2. Montre qu'alors le groupe est isomorphe à Z/2Z * Z/2Z.
Soit il existe un élément d'ordre 4. Alors le groupe est cyclique et donc abélien
Pour la 2)
i) implique ii) : je te laisse trouver, ce n'est pas dur
ii) implique iii) :
D'autre part
Donc
Puis il suffit de multiplier cette égalité par ce qu'il faut à gauche et à droite pour obtenir le résultat
iii) implique iv) : Et il reste juste à montrer que le noyau est trivial
iv) implique i) (où e est lélement neutre)
Sauf erreurs,
1emeu
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