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décomposition dans SL(n,Z)
Bonjour,
J'ai un petit problème d'existence et d'unicité de la décomposition des matrices de SL(n,) qui sont à coefficients positifs ou nuls.
L'énoncé est le suivant :
| si M est une matrice de SL(n, |
Cet énoncé est vrai dans SL(2,
D'autre part, peut-on généraliser ce théorème en dimension plus grande avec SL(n,
En espérant trouvez des pistes par votre aide pour ce petit problème.
Salut!
On peut bien montrer que les matrices de trasnsvections est un système générateur de . Une simple récurrence fait l'affaire
...Bon à l'attaque !
Comme les opérations élémentaires qu'on définit en général sur avec un sous-corps de C, on définit les opérations élémentaires (appelés restreintes) par la multiplication à droite par
.
Ce qui revient à dire que:
On montre d'abord un petit lemme:
Soient des entiers relatifs, on peut transformer la matrice ligne
en la matrice ligne
où
en utilisant des opérations élémentaires restreintes.
Je te laisse le montrer, il faut juste discuter les différents cas possibles ...
Maintenant on montre la propriété que tu veux:
On a pour tout i,j distincts. Notons
le sous-groupe engendré par les matrices
.
Le lemme précédent peut en effet être généralisé à une matrice rectangulaire à coefficients entiers quelconque. Ce qui revient à dire:
Si alors il existe une suite d'opérations élémentaires qui transforme M en
. On a alors
avec P le produit des matrices des transformations élémentaires qu'on a effectuées.
Si alors
d'où: d=1 et .
Par récurrence, montrons que , le cas n=2 est clair (et tu l'as même montré avec d'autres outils ^^)? On suppose alors la propriété vérifiée pour n-1, montrons la pour n.
Introduisons la matrice , bien évidemment:
, on a
par HR donc
, et
(se déduit de
par addition à la première colonne de multiples entiers des autres colonnes.)
Donc . Récurrence achevée.
D'après ENS 2006 MP, sujet spécialement dédié pour l'étude de
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