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décomposition de Dunford

Posté par
A-Zak 09-01-09 à 23:24

Bonjour, un coup de main s'il vous plait.
on me donne la matrice 4$A=\(\array{&1&0&0\\&1&-1&0\\&-1&2&-1}\) \\
et f l'endomorphisme de \mathbb{R}^3 associé
on me demande de montrer qu'il existe une base de \mathbb{R}^3 dans la quelle la matrice de f est
4$B=\(\array{&1&0&0\\&0&-1&2\\&0&0&-1}\) \\
j'ai calculé le polynome caracteristique de A, P_A=(1-x)(1+x)^2
l'espace propre associé à la valeur propre 1 est E_1=<(2,1,0)>
l'espace propre associé à la valeur propre -1 est E_{-1}=<(0,-1,1)>
l'espace caracteristique associé à la valeur propre -1 est N_{-1}=<(0,-1,1)>
aprés je sais pas comment derterminer le 3eme vecteur colonne de B car il doit appartenir à N_{-1} mais pas à E_{-1} mais vu qu'ils sont egaux alors ???
La question suivante me demande de faire la decomposition de Dunford de B.
Merci

Posté par
antho07re : décomposition de Dunford 09-01-09 à 23:35

N_{-1} n'est pas égale à l'espace propre sinon la matrice serait diagonalisable.

En faite
N_{-1}=ker(A+I)^{2}=Vect \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)

Posté par
A-Zakre : décomposition de Dunford 09-01-09 à 23:40

Ah oui je me suis planté dans le calcul de (A+I)^2.
Merci de ton aide.

Posté par
antho07re : décomposition de Dunford 09-01-09 à 23:53

(A+I)^{2}=\begin{pmatrix} 4 &0 &0 \\ 2 &0 &0 \\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}

Posté par
A-Zakre : décomposition de Dunford 09-01-09 à 23:54

Posté par
antho07re : décomposition de Dunford 10-01-09 à 00:46

J'ai aucun mérite, je l'ai fais avec maple

Posté par
A-Zakre : décomposition de Dunford 10-01-09 à 10:13

dacord!


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