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Décomposition en carrés d'une forme quadratique

Posté par
matix 23-12-08 à 14:56

Bonjour,

On me donne la forme quadratique suivante:

\displaystyle q(x)=x_1x_2 + ax_2x_3 + bx_1x_4 + x_2x_4, avec x=(x_1,x_2,x_3,x_4) et (a,b) \in \mathbb{R}^2.

Le but de l'exercice est de donner le rang et la signature de q en fonction des valeurs que peuvent prendre les paramètres a et b. Pour ce faire, il est judicieux de commencer par mettre sous forme de carrés la forme de départ par la méthode de Gauss.

Après avoir essayé ceci, je trouve:

\displaystyle q(x)=(x_1+\frac{1}{2}x_2)^2 + (x_2+\frac{1}{2}x_4)^2 + (x_2+ \fra... ...^2 - 2x_1^2 - \frac{9}{4} x_2^2 - \frac{a^2}{4} x_3^2 + \frac{(1-b^2)}{4} x_4^2.

Cependant, la correction de l'exercice donne plutôt:

\displaystyle q(x)= \frac{1}{4}(x_1+x_2+ax_3+(1+b)x_4)^2 - \frac{1}{4}(x_1-x_2 + ax_3 + (1-b)x_4)^2 - b(\frac{a}{2}x_3 + x_4)^2 + \frac{a^2b}{4}x_3^2.

Pourquoi convient-il d'utiliser cette forme-ci plutôt que celle que j'ai trouvée pour poursuivre l'exercice? En effet, en utilisant la forme que je trouve, je n'obtiens du coup pas les mêmes résultats pour le rang et la signature en fonction des paramètres...

En espérant que vous pourrez m'éclairez, merci d'avance!

Posté par
franzre : Décomposition en carrés d'une forme quadratique 23-12-08 à 15:20

T'es-tu assuré que tes formes linéaires étaient indépendantes ? Vu que tu en as 7 pour 4 variables, j'en serais surpris. Or c'est indispensable.

Si je caricature, si tu t'intéresse à la forme quadratique q(x)=x_1^2, tu peux t'amuser à écrire que q(x)=2x_1^2-x_1^2 or même avec la meilleure volonté du monde sa signature n'est pas (1,1).

Posté par
matixre : Décomposition en carrés d'une forme quadratique 23-12-08 à 15:25

Ok... Pourtant, à "première vue", les formes linéaires que j'ai obtenues ne paraissent pas dépendre l'une de l'autre. J'ai sûrement tort, mais pourquoi?

En admettant donc que je n'ai pas la forme "convenable", comment s'y prendre pour obtenir la forme donnée par la correction, du moins une forme exploitable?

Posté par
franzre : Décomposition en carrés d'une forme quadratique 23-12-08 à 16:03

Dans ta décomposition tu fais apparaître (x_1+\frac 1 2 x_2)^2, -2 x_1^2 et -\frac 9 4 x_2^2 ce qui induit une dépendance linéaire

Posté par
franzre : Décomposition en carrés d'une forme quadratique 23-12-08 à 16:28

Je te renvoie là dessus pou les explications

En appliquant la méthode de Gaus sur x1 on obtient :

3$x_1x_2 + bx_1x_4 =\frac 1 4 \[ (x_1+x_2+bx_4)^2-(x_1-x_2-bx_4)^2\]

il reste à le faire sur x2 ce qui conduit à

3$a x_2x_3 + x_2x_4 =\frac 1 4 \[ (x_2+a x_3+x_4)^2-(x_2-a x_3-x_4)^2\]

d'où l'expression (à mon avis encore + sympa que celle de ton prof)

4$\red \fbox {q(x) =\frac 1 4 \[ (x_1+x_2+bx_4)^2+(x_2+a x_3+x_4)^2-(x_1-x_2-bx_4)^2 -(x_2-a x_3-x_4)^2\]} qui conduit à la signature 4$\red s(q)=(2,2)

Posté par
matixre : Décomposition en carrés d'une forme quadratique 23-12-08 à 17:58

Merci pour toutes tes indications, je vais aller lire le pdf.
Par contre, ce qui me semble curieux, c'est qu'avec la forme que tu obtiens, il n'y a pas de conditions particulières à donner aux paramètres a et b, on aura toujours la même signature, sauf erreur. Et pourtant, dans le corrigé que j'ai, il est écrit:

Si b=0, s(q)=(1,1)
Si b>0 et a = 0, s(q)=(1,2)
Si b>0 et a \not = 0, s(q)=(2,2)
Si b<0 et a \not = 0, s(q)=(2,2)
Si b<0 et a = 0, s(q)=(2,1)

:?

Posté par
franzre : Décomposition en carrés d'une forme quadratique 23-12-08 à 19:38

En reprenant le résultat de ta correction, je m'aperçois qu'il est aussi faux que le mien (voire un peu plus car le développement de l'expression que tu donnes ne conduit pas à q(x)).

Excuse moi j'ai été un peu rapide (et imprécis par la même occasion).
Il faut que les 4 formes linéaires (x_1+x_2+bx_4)\quad,\quad(x_2+a%20x_3+x_4)\quad,\quad(x_1-x_2-bx_4)\quad et\quad(x_2-a%20x_3-x_4) soient indépendantes.

Si je m'intéresse au déterminant de la matrice A=\left(\array{rrrr$ 1 & 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -b \\ 0 & 1 & -a & -1}\right) je trouve 3$\red 4ab ce qui signifie que ces 4 formes sont indépendantes uniquement dans le cas où a\neq 0 et b\neq 0

Je te laisses étudier les cas particuliers

Posté par
matixre : Décomposition en carrés d'une forme quadratique 24-12-08 à 04:53

Pour info, voici la source de l'énoncé et de son corrigé: (exercice intitulé "Formes quadratiques avec paramètres" )

Posté par
matixre : Décomposition en carrés d'une forme quadratique 24-12-08 à 14:54

Une autre idée aurait pu consister à écrire la forme quadratique donnée dans une base de vecteurs propres de la matrice associée, et cela aurait alors évité d'utiliser la méthode de Gauss. Par contre, trouver les valeurs propres de la matrice associée à q_a est une autre histoire. Perso, j'ai essayé de les trouver en passant par le polynôme caractéristique, sans succès.. Une idée peut-être?


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