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décomposition en élément irréductible dans un anneau
Bonjour !
Pouvez-vous s'il vous plait m'expliquer la démarche à suivre pour décomposer en élément irréductible 6+2i dans Z[i] ?
Je sais que 6+2i est réductible car N(6+2i)=40 (ce n'est pas un nombre premier)
PAr avance merci pour vos explications
Elotwist
en faite c'est simple
tu fais rentrer 6+2i dans lme [i] sa devien donc
Z[6+2i] puis ensuite tu calcul just à calculer Z à la place de N et tu trouve
Bonjour.
Je ne vois pas d'autre moyen que de dire :
z.z' = 6 + 2i 
(a + ib)(c + id) = 6 + 2i N(z).N(z') = 40
On cherche alors cas :
N(z) = 1 et N(z') = 40
N(z) = 2 et N(z') = 20
etc.
Tu redécomposeras à son tour l'élément en question.
Exemple.
N(z) = 2 z 
{1+i,1-i,-1+i,-1-i}
z = 1+i conduit à un système donnant z' = c+id.
Je trouve c = 4 et d = -2
donc 6+2i = (1+i)(4-2i) = 2(1+i)(2-i)
Remarque : comme toute décomposition, l'unicité est acquise aux unités près (et à l'ordre près bien sûr).
Or, les unités de Z[i] sont : 1,-1,i,-i.
Bonjour,
petite précision: belhadry est un élève de troisième, et il croyait que Z et N étaient des nombres me semble-t-il...
Bonsoir Raymond,
non, pas beaucoup: on peut tout de même d'emblée mettre le en facteur, ce qui ramène au problème de la décomposition de
, dont l'image par
vaut
.
On peut donc chercher une décomposition de de la forme
avec
.
Cela dit, je n'ai jamais été très à l'aise avec ce genre de choses.
qui plus est, je ne vois pas pourquoi les deux parties réelles seraient forcément de m^me signe... on peut en bloquer une positive, mais l'autre peut être positives ou négative...
personnellement je dirais que si l'un des facteurs est (1+
i), l'autre peut-être a priori : ('+2"i) ou (2'+"i)
de toutes façons, s'il n'est pas irréductible, c'est qu'il est divisible par 1+i ou par 1-i... on fait les division dans 
et on regarde si les parties réelles et imaginaires sont entières...
Oui, tu as raison pour les signes à bloquer et pour ton message de 22h47; du coup il est plus simple de décomposer a priori sous la forme
de toutes façons, s'il n'est pas irréductible, c'est qu'il est divisible par 1+i ou par 1-i...
-> Je ne comprends pas...
Ou alors tu parles de ce cas précis?
oui, je parle uniquement de ce cas précis... si il a un diviseur non trivial, il en a un de module 2...
sinon, dans ta décomposition, je continue à ne pas comprendre pourquoi le "2" ne peut pas aussi être sur la partie réelle du deuxième facteur.
pour le signe des parties réelles, on peut quand même en bloquer une puisque si on a une factoorisation, les deux opposés conviennent aussi.
oui, je parle uniquement de ce cas précis... si il a un diviseur non trivial, il en a un de module
-> En effet, donc ta méthode est sans doute plus rapide en général.
sinon, dans ta décomposition, je continue à ne pas comprendre pourquoi le "
-> Non, là ça marche car si le second facteur a pour partie réelle
ah ben voilà, j'ai compris !
disons que cela fonctionne mais que ce n'est pas la peine d'envisager le cas car il correspond de toutes façons à une autre possibilité..
tu vois, moi aussi j'ai un peu perdu sur ce genre de chose... et tu reste plus à l'aise que moi ! 
alain
Euh...je n'en donnerais pas ma tête à couper!! Cela dit c'est intéressant cette arithmétique, c'est dommage que je ne m'y sois jamais vraiment penché! J'ai toujours vu ça comme des considérations exotiques 
j'avoue ne pas avoir tout lu mais je vous propose une solution
z=a+ib est irreductible si sa norme est premiere dans N
z est inversible si sa norme est 1 (seul inversible de N où se situe les normes)
liste des inversibles : 1,-1, i, -i
si N(z)=N(z') alors z et z' sont associés car leur quotient est de norme 1 donc inversible
2 n'est pas irréductible puisque sa norme est 4
il faut chercher un facteur de norme 2 : 1+i par exemple
J'ai cru lire que vous n'aviez pas vu cela
2=-i(1+i)^2
avec -i inversible
ensuite 3+i est de norme 10=2x5
et 5 est la norme de 1+2i par exemple
et 2 est la norme de 1+i par exemple
(1+2i)(1+i)=-1+3i=i(3+i)
d'où 3+i=-i(1+2i)(1+i)
comme (-i)(-i)=-1
tous irréductible car de norme algébrique première
Salut apaugam,
et merci pour ta réponse! Tu as entièrement raison en ce qui me concerne, je l'avoue (à mon grand dam!):
j'avais honteusement considéré comme irréductible, en grand naïf que je suis resté!!!
Sinon, je retiens ta remarque toute simple mais fort utile en pratique:
si
, qui permet de se passer des
et
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