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Decomposition en elements simples

Posté par
Eric-sson 26-01-09 à 23:53

Bonsoir,

jai un petit problème dans cette exercice...

Décomposer en éléments simples la fraction suivantes

F(X)= \frac{X^2+1}{X^4+1}

alors jai commence comme toujours en factorisant le dénominateur :

X^4+1= (X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1)

Ensuite en écrit la forme de la fraction F(X)

F(X)= \frac{aX+b}{X^2+\sqrt{2}X+1}+\frac{cX+d}{X^2-\sqrt{2}X+1}

Alors on fait la division Euclidienne de X^2+1 par X^2-\sqrt{2}X+1

on trouve X^2+1= (X^2-\sqrt{2}X+1)(1)+ \sqrt{2}X
et on fait la même chose pour X^2+1 par X^2+\sqrt{2}X+1
on trouve X^2+1= (X^2-\sqrt{2}X+1)(1)- \sqrt{2}X


A la fin jai trouvé F(X)= 1+ \frac{\sqrt{2}X}{X^2+\sqrt{2}X+1} +\frac{-\sqrt{2}X}{X^2+\sqrt{2}X+1}


Je ne sait pas où est la faute mais dans la solution il y a:

F(X)=\frac{\frac{1}{2}}{X^2+\sqrt{2}X+1} +\frac{\frac{1}{2}}{X^2+\sqrt{2}X+1}


merci pour votre aide....

Posté par
Eric-ssonre : Decomposition en elements simples 26-01-09 à 23:56

il y a une faute de frappe dans les derniers denominateurs il faut un - au lieu de +


F(X)= 1+ \frac{\sqrt{2}X}{X^2+\sqrt{2}X+1} +\frac{-\sqrt{2}X}{X^2-\sqrt{2}X+1}

Posté par
raymond Correcteurre : Decomposition en elements simples 27-01-09 à 00:16

Bonsoir.

Il n'y a pas de raison que tu puisses décomposer de cette manière. Il me semble que tu confonds somme et produit.

Tu as effectivement :

2$\textrm F(X) = \fra{X^2+1}{(X^2+X\sqrt{2}+1)(X^2-X\sqrt{2}+1)} = \fra{aX+b}{X^2+X\sqrt{2}+1} + \fra{cX+d}{X^2-X\sqrt{2}+1}

Ceci étant vrai pour tout X réel, on peut prendre des valeurs particulières.

¤ Si X = 0 : b+d = 1

¤ Si X = i : a = c et b = d

¤ Si on multiplie les deux membres par X et X tend ves l'infini : a + c = 0

D'où le résultat proposé

Posté par
Eric-ssonre : Decomposition en elements simples 27-01-09 à 00:20

mais dans le cours on a la méthode que jai suivi  

la tienne ce nest qu un truc pour trouver a,b,c et d
ce nest pas une méthode qu on peut toujours utiliser

je comprends pas

Posté par
raymond Correcteurre : Decomposition en elements simples 27-01-09 à 00:46

La méthode qui a été donnée en cours (division euclidienne) s'applique pour trouver la partie entière lorsque le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur.

Finalement, le but cherché est bien celui de trouver a, b, c, d.

Si tu veux employer une autre méthode, écris la décomposition comme dans mon précédent message, puis réduis au même dénominateur. Ensuite, identifie les numérateurs.


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