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Décomposition matricielle
Bonsoir,
j'ai une petit exo, que j'arrive pas à résoudre, donc j'espère que quelqu'un pourra m'aider 
Enoncé :
Soit A
GLn(
).
Je dois montrer ceci : 
RS()++, telle que tAA = R².
Je note P = tAA
Donc, voici ce que j'ai déjà montré :
P est inversible, et P est symétrique.
Donc on que P est diagonalisable, et que la matrice diagonale qui correspond, c'est celle ayant les valeurs propres de P sur la diagonale, et qui sont tous réels.
J'ai aussi montré que toute matrice S de Sn(R)++, s'écrit de manière unique sous la forme R², ( R étant dans Sn(R)++).
J'ai regardé, et j'ai que tr(P) >0 et que le produit de toutes les valeurs propres est positif. Or, celà ne me dit pas qu'elles sont toutes positives.
C'est donc là que je bloque ^^
Donc si quelqu'un peut me proposer une idée ^^
Merci.
Gaxe.
Bonsoir.
P étant symétrique réelle, elle permet de définir sur IRn une forme bilinéaire symétrique f définie par :
f(x,y) = tX.P.Y
La forme quadratique associée est :
q(x) = tX.P.X = tX.tA.A.X = t(A.X).(A.X) = ||A.X||²
où la norme est la norme euclidienne calssique sur IRn.
Donc, q(x) = ||A.X||² 
q positive ( ce que tu avais déjà trouvé )
De plus, q(X) = 0 
A.X = O X = 0 (puisque A dans GLn(IR)).
Conséquence : toutes les valeurs propres de P sont strictement positives.
Juste pour bien comprendre, pourquoi montrer q(X)=0 <=> X=0 implique que les vps sont >0 ?
J'aurai tendance à montrer cela par le pdt scalaire de Px par X pour X vect propre et montrer.
Salut octintin,
bein, en fait, si tu considères l'application 
suivante :
Mn(R)² 
R
X,Y 
tXMY
Alors est un produit scalaire MSn(R)++.
Enfin, je ne sais pas si ce résultat est au programme de PSI/MP, mais il ne l'est pas pour les PC en tout cas. Je le connais grâce à un exo d'oral que j'ai fait cette semaine
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