Qui sont ?

Des questions plus sérieuses :
  Quelle est la dimension de l'espace engendré par ?

  Est-ce que l'espace engendré par est contenu dans celui engendré par ?

   En déduire quelque chose...

Merci de ton interet pour ma question,
je ne sais pas repondre a tes questions (
sauf qui sont V1 et V2.

j'ai a l'origine dans R^4 un sous-espace vectoriel E engendré par 5 vecteurs v1=(1,2,-2,1),v2=(2,-1,6,-13),v3=(-1,2,-6,11),v4=(5,9,-8,2),v5=(1,4,-6,7).

Par la methode de Gauss j'ai construit un ensemble generateur de E formé de V1 et des vect V'2,V'3,V'4,V'5:
V1  ( 1   2  -2    1 )
V'2 ( 0  -5  10  -15 )
V'3 ( 0   4  -8   12 )
V'4 ( 0  -1   2   -3 )
V'5 ( 0   2  -4    6 )

Ensuite j'ai construit V3 V4 V5 comme combinaison lineaire de V1 et V2,
j'obtiens
V3= -4/5(V2-V1)
V4= V2+3V1
V5= -2/5(V2-2V1)+V1

je dois en deduire une base et la dimension de E,
je pensais a {V2-V1;V2+3V1;V1} de dim 3(car composé de 3 vecteurs)
mais mon probleme est la, je ne suis pas certain d'avoir compris et je ne trouve pas de cas concret sur lequel m'appuyer...
Merci de votre aide!

Si tu ne sais pas répondre à la première question posée, il faut que tu revois ton cours; en particulier, la définition d'une base et la définition de la dimension.

Après il faut encore relire ton cours pour comprendre ce qu'est un espace engendré par une famille de vecteurs.

N'hésite pas à poser des questions si tu rencontres des difficultés de compréhension.

justement j'ai peut etre une piste maintenant a ta premiere question,

Dans un espace vectoriel E de dimension finie toutes les bases ont le meme nombre "n" de vecteurs. et "n" est la dimension de E.

un espace engendré par une famille de vecteurs, par exemple un espace plan est engendré par 2 vecteurs (formant une famille), et dans R^3 on a besoin de 3 vecteurs pour engendrer l'espace

la dimension d'un espace engendré par V1 et V2 serait 2,
et pour mon exo la dimension de E est 2..car mes 5 vecteurs sont composés de combinaisons de  V1 et V2... ?

c'est sur la comprehension de tout ca que je lutte...car j'ai beau lire et relire les cours ca passe pas, j'ai attendu trop longtemsp avant de me remettre aux maths (~15 ans lol)

Un bon point pour la réponse sur la dimension (c'est une définition essentielle), par contre il faut faire attention à la différence entre une base et un système générateur.

Car, par exemple (0,0,0), (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1) est une famille de 8 vecteurs qui engendrent . Mais ce n'est pas une base. Pourquoi ?

Il y a deux notions importantes pour une famille de vecteurs : la notion de famille génératrice et la notion de famille libre (elles s'opposent en quelque sortes). Et une base et justement "le juste milieu" : libre et génératrice.

Dans ton exerice, tu as montré que v1 et v2 engendre l'espace E, mais pas qu'il s'agissait d'une base. Tout ce que l'on peut dire sur la dimension c'est que c'est 0, 1 ou 2.


Bon courage, pour ta remise en math. Les espaces vectoriels apparaissent dans beaucoup de situations mathématiques très très variées. C'est un peu dur à digérer la première fois, mais tous les mathématiciens s'en servent plusieurs fois par jour.

merci beaucoup !!
j'ai l'impression de piger des trucs et tes dernieres phrases me motive et ca va etre le cas quand j'attaquerais la meca

Si je deduis de ma matrice que les vecteurs sont lineairement independants (donc libre) puisque je ne peux pas obtenir le vecteur nul.
est ce que ca me permet bien de dire que ma base est dimension 2 est que c'est {V1,V2}..

re...

tu n'es plus la.. j'esperais une derniere confirmation d'avoir bien pigé, car j'en ai deux exo comme ca a faire et ce n'etait que le premier
a plus tard, car je reviendrais de toute facon car j'en aurai un grand besoin pour les prochains cours.
A+

Oui, oui. Il suffit bien de dire que v1, v2 est un système libre pour dire que l'espace qu'ils engendrent et de dimension 2.

Par contre, tu n'as pas besoin de la matrice pour démontrer ce fait, juste de la définition de v1 et v2 :
v1 = (1,2,-2,1)
v2 = (2,-1,6,-13)

oki doki
merci encore
puisque tu es encore la j'ai une autre question peut etre un peu bete :p
par la methode de gauss j'ai recupéré mes V'2 V'3 V'4 V'5
j'ai pas le vecteur nul donc je suis biel libre, par contre est ce que je peux refaire une deuxieme passe car V'3 et V'4 peuvent le devenir en utilisant V'2... ca pourrait me donner une base differente c'est bien ca?
ou j'ai rien pigé lol

a+

Oui, en utilisant à nouveau V'2 tu vas trouver un V''3 un V''4 et un V''5 et il y en un qui va devenir nul.

Le fait d'être une famille libre n'a pas grand chose à voir, à priori, avec le pivot de Gauss. On dit que V1, ..., Vn est libre si toute combinaison linéaire des vecteurs V1, ..., Vn est nulle, cest-à-dire :
a1 V1 + ... + an Vn = 0 a1 = a2 = ... = an = 0
(attention ce n'est pas le même zéro ! le zéro de gauche est le vecteur nul et celui de droite le vrai 0)

Le pivot de Gauss permet d'arranger les coordonnées de nos vecteurs de manière à simplifier ces calculs.

d'accord!
mais peut on deduire de la matrice obtenue par le pivot que le systeme est libre?  :
V1  ( 1   2  -2    1 )
V'2 ( 0  -5  10  -15 )
V'3 ( 0   4  -8   12 )
V'4 ( 0  -1   2   -3 )
V'5 ( 0   2  -4    6 )

j'ai l'impression qu'a un moment ils ont parlé de ca en cours...
desolé il se fait tard ...
en tout cas merci encore