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Définition d'un groupe
Bonjour,
Je dois montrer que
Soit G un groupe. Montrer que si pour tout g appartient à G g^2=1
Le groupe G est nécessairement abélien?
Voila ce que j'ai fait:
pour tout g appartient à G, g^2=1
pour tout h appartient à G, h^2=1
d'où
g^2=h^2
g^2*g^-1=h^2*g^-1
g=h^2*g^-1
h^-1*g=h*g^-1
h^-1*g*h=h*g^-1*h
De plus g^2=1 d'ou g^2*g^-1=g^-1 d'ou g=g^-1
de même h=h^-1
d'ou
h*g*h=h*g*h
et la je me demande si j'ai le droit de dire que si
h appartient à G
g appartient à G
alors h*g appartient à G
et g*g appartient à G j'ai le droit?
Merci d'avance
Laurine
bonsoir
si on regarde bien, on voit que tu as 10 lignes de démonstration pour montrer que h*g*h = h*g*h
on se demande si ça valait bien le coup...
non ? 
c'est pas "plus court" qu'il faut chercher ! c'est "autre chose" car là tu ne démontres strictement rien !
remarque 1 : dans un groupe (pas forcément abélien) on a (g*h)-1=...?...
remarque 2 : tu fais une remarque très intéressante au cours de tes périgrinations : dans un groupe où g²=1 pour toug, chaque élément est son propre symétrique.
avec ça, à toi de jouer
et rappelons que par définition, la loi est stable dans G,
et que on veut montrer :
h
G ; gG ; g*h=h*g
g*h=g^-1*h^-1=(h*g)^-1
disons que comme h appartient a G et g appartient a G h*g appartient à G
et comme g^2=1 implique que g^-1=g pour tout g appartient à G
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