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Niveau Licence Maths 1e ann
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Définitions précises

Posté par
H_aldnoer 14-12-08 à 13:16

Bonjour,


j'aurai besoin de vos définitions de ceci :
\Large \lim_{x\to a} f(x)=l
\Large \lim_{x\to a} f(x)=+\infty
\Large \lim_{x\to a} f(x)=-\infty

\Large \lim_{x\to +\infty} f(x)=l
\Large \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty
\Large \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty

\Large \lim_{x\to -\infty} f(x)=l
\Large \lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty
\Large \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty

Merci d'avance!

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 14-12-08 à 13:37

Salut !

Que cherches-tu exactement? Parce que je pense que tu les connais les définitions en terme d'epsilon ou de voisinage non? Tu cherches à faire apparaitre la petite coquille dans la définition de certains mathématiciens?

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 14-12-08 à 13:48

Non, justement les epsilons et les voisinages!

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 14-12-08 à 13:49

La première par exemple : \Large \forall \epsilon >0 , \exists \eta >0 , |x-a|\le \eta \Rightarrow |f(x)-l|\le\epsilon.

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 14-12-08 à 14:06

Oui, Eh bien en terme de voisinage ça se traduit par :

3$\rm \forall V\in \mathsc{V}(l), \exist V'\in \mathsc{V}(a), (x\in V'\cap D_{f}\Rightarrow f(x)\in V)

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 14-12-08 à 21:27

Non, je voulais dire traduire comme je le fais pour le cas 1), tous les autres cas!

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 00:45

Ah !!

Faut les faire tous? C'est toujours le même schéma.

Si x tend vers a, on va avoir du 3$\rm |x-a|\le \eta
Si x tend vers +oo, on va avoir du 3$\rm x\ge \eta
Si x tend vers -oo, on va avoir du 3$\rm x\le \eta

Si f(x) tend vers l, on va avoir du 3$\rm |f(x)-l|\le \epsilon
Si f(x) tend vers +oo, on va avoir du 3$\rm f(x)\ge A
Si f(x) tend vers -oo, on va avoir du 3$\rm f(x)\le A.

Voila, fait le puzzle.

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 00:51



Que pensez-vous de la définition de wiki pour \Large \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty ?

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 00:53

Ok Night'.

Et \Large A\,,\epsilon\,,\eta sont toujours strictement positif ?

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 00:54

Petite coquille effectivement, c'est un 3$\rm \le qu'il faut.

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 00:55

A est réel, epsilon positif et eta positif ou négatif selon si on est en -oo ou +oo.

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 00:58

Ok!

Donc on dit que \Large \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty ssi \Large \forall A\in\mathbb{R},\exists\eta>0,x\ge\eta,f(x)\le A ?

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 00:59

Tu remarqueras l'intersection avec Df, en fait certains excluent le point en lequel on cherche la limite. Beaucoup de litige sur le sujet.

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 00:59

Oui ça marche bien (ne pas oublier le quantificateur universel pour x)

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 01:00

On dit que \Large \lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty ssi \Large\forall A\in\mathbb{R},\exists\eta<0,x\le\eta\Rightarrow f(x)\ge A

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 01:02

Non en réalité eta est quelconque, sinon ça ne marche pas.

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 01:03

Mais tu as dit à 00:55 que eta est positif ou négatif selon qu'on court vers plus ou moins l'infini,

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 01:07

Oui, erratum je m'en excuse.

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 01:10

Donc, on a :
\Large \lim_{x\to a} f(x)=l ssi \Large \forall \epsilon >0 , \exists \eta >0 , |x-a|\le \eta \Rightarrow |f(x)-l|\le\epsilon.

Dans tous les autres cas, \Large \eta\in\mathbb{R} de même que \Large A.

?

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 01:27

Oui !

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 01:33

Dans ton message de 00:54, c'est un \Large \ge qu'il faut plutôt, non?

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 01:34

Oui, plutôt.

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 01:36

Tu peux me donner une limite au pif, pour voir si j'ai bien compris !

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 01:39

Euh bah je sais pas,

Tu considères 3$\rm f(x)=\{{1 si x=0\\0 sinon. Quelle est sa limite en 0 ?

Plus sérieusement, par exemple la limite de 3$\rm ln(1+e^{\sqrt{x}}) en +oo.

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 01:52

Bon, c'est +oo en +oo !

\Large \forall A\in\mathbb{R},\exists\eta\in\mathbb{R}, x\ge\eta \Rightarrow ln(1+exp(\sqrt{x}))\ge A


\Large ln(1+exp(\sqrt{x}))\ge A équivaut à \Large x\ge ln(exp(A)-1)^2 et on prend \Large \eta=ln(exp(A)-1)^2.

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 01:58

Et comment fait-on pour A=0 par exemple?

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 02:02

(Au passage, tu peux essayer de trouver la limite de la première fonction que j'ai donné, voir ce que tu trouves )

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 02:03

On est pas dans la m**** si A=0!

Ceci étant valable uniquement si \Large exp(A)-1>0 ie \Large A>0.

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 02:05

Eh oui, mais pour A=0, n'importe quel eta convient

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 02:05

Si A=0, c'est évident en fait! Car ce qu'il y a dans le ln est strictement plus grand que 1!

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 02:06

Exact, exact!

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 02:08

Pour A négatif, on verra bien demain^^


Fais de beaux rêves, Nightmare!

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 02:11

Pour A négatif, n'importe quel eta convient aussi

De beaux rêves à toi aussi !

Posté par
lolo217re : Définitions précises 15-12-08 à 10:46

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord avec la définition du message de 01h 10  !

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 11:43

Citation :
Pour A négatif, n'importe quel eta convient aussi

Oui, c'est clair!

Citation :
Je ne suis pas d'accord avec la définition du message de 01h 10  !

Et pourquoi ?

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 13:43

Parce qu'il manque le quantificateur sur x je pense

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 15:02

C'est sur ?

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 15:03

Erreur de bouton!
C'est sur le \Large |x-\eta| qu'il y a le quantificateur ?

Posté par
lolo217re : Définitions précises 15-12-08 à 15:03

Non j'avais passé pour le quantificateur sur  x ... avec cette définition  x = a est toléré et donc  L = f(a)  est la seule limite possible !

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 15:03

C'est quoi la définition alors?

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 15:29

Oui lolo217, c'est ce dont je parlais, considérer qu'on essaye tous les x sauf a, ou si on essaye a aussi. A chacun sa définition, ça ne change pas les grandes lignes de la théorie.

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 15:33

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 15:33

Posté par
lolo217re : Définitions précises 15-12-08 à 15:36

H_aldnoer  : tu mets  pour tout  x  tel que  0 < l x-a l < éta .

Sinon l'application  définie par  f(x) = 12  sur R*  et  f(0)= 0  
n'a pas de limite en  0 ce qui est un peu embêtant non ?

Posté par
lolo217re : Définitions précises 15-12-08 à 15:37

oui on peut faire ça Nightmare...c'est comme ceux qui disent que 1 est premier ...y aussi une secte

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 15-12-08 à 15:41

Cava cava lolo, n'en rajoute pas quand même

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 15-12-08 à 16:01

Oui lolo217, c'est pour ça que j'avais donné à H_aldnoer l'exemple de f nulle partout sauf en 0 ou elle vaut 1, voir quelle définition il prenait

Enfin bon, personnellement, que cette fonction ait une limite ou pas, je m'en fiche un peu

Posté par
lolo217re : Définitions précises 15-12-08 à 17:52

oui je n'avais pas vu ton exemple plus haut .

Posté par
H_aldnoerre : Définitions précises 16-12-08 à 12:03

\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty c'est bien ceci :

\Large \forall A\in\mathbb{R} , \exists \eta\in\mathbb{R} , x\ge\eta \Rightarrow f(x)\le A

Posté par
Nightmarere : Définitions précises 16-12-08 à 12:05

Oui!

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