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Degré d'une fonction polynomiale

Posté par
Arctan 15-07-08 à 12:58

Bonjour
J'ai un problème : Si P est une fonction poly de degré d, pour trouver le degré de la fonction définie par Q(x)= P(x+1) - P(x)
Quand je fais un calcul formel en écrivant P = aiX^i . .. Et en prenant les valeurs en (x+1) et x je trouve que le degré de la différence vaut 0 car tous les termes de degrés supérieurs ou égaux à 1 s'annulent, mais j'ai bien peur de m'embrouiller en réalité, car quand je cherche avec quelques petits exemples simples, je trouve un degré = d-1 ..
Pouvez-vous m'aider?
Merci, bonne journée à tous

Arctan

Posté par
gui_toure : Degré d'une fonction polynomiale 15-07-08 à 13:02

Salut

Oui avec le binôme on trouve deg Q=deg P-1

Posté par
Arctanre : Degré d'une fonction polynomiale 15-07-08 à 13:24

Merci

Donc j'écris bien
P(x+1)-P(x) = (i=0 à d)( ai (x+1)^i) - (i=0 a d) ai x^i
            = (i=0 a d)( ai ((k=0 a i)(k parmi i) x^k) - aix^i)
            = (i=0 a d) (ai ((k=0 a i) (k parmi i)x^k - x^i))
Mais ensuite je m'embrouille avec ma double somme, peux- tu m'aider à continuer ?

Posté par
gui_toure : Degré d'une fonction polynomiale 15-07-08 à 13:54

Soit 3$n\in{\bb N}^*

3$P(X)=\Bigsum_{k=0}^na_k.X^k où 3$a_n\not=0

3$P(X+1)=\Bigsum_{k=0}^na_k.(X+1)^k

3$P(X+1)-P(X)=\Bigsum_{k=0}^na_k.(X+1)^k-\Bigsum_{k=0}^na_k.X^k \\ P(X+1)-P(X)=\Bigsum_{k=0}^na_k.\[(X+1)^k-X^k\]

Soit 3$k\in{\bb [}0,n{\bb ], alors

3$(X+1)^k-X^k\,=\,\Bigsum_{i=0}^k\(k\\i\)X^i\ -\ X^k

3$(X+1)^k-X^k\,=\,\Bigsum_{i=0}^{k-1}\(k\\i\)X^i\ +\[\(k\\k\)X^k-\ X^k\]

(** la on se rend compte que le cas k=0 gêe, puisque la somme commence à 0 et finit à -1. pour k=0, on a 3$(X+1)^k-X^k=0)

3$(X+1)^k-X^k\,=\,\Bigsum_{i=0}^{k-1}\(k\\i\)X^i\ +\[X^k-\ X^k\]

3$(X+1)^k-X^k\,=\,\Bigsum_{i=0}^{k-1}\(k\\i\)X^i

Donc

3$P(X+1)-P(X)=\Bigsum_{k=0}^na_k\Bigsum_{i=0}^{k-1}\(k\\i\)X^i \\ P(X+1)-P(X)\ =\ a_0\times0\ +\ a_1\times\[\(1\\0\)\]\ +\ ...\ +\ a_n\[\(n\\0\)+\(n\\1\)X^1+...+\(n\\n-1\)X^{n-1}\]

Et le coeff dominant de 3$P(X+1)-P(X) est 3$a_n\(n\\n-1\)X^{n-1}

donc 3$\fbox{\fbox{\rm{deg}[P(X+1)-P(X)]=n-1

Y a peut-être plus simple

Sauf erreur

Posté par
gui_toure : Degré d'une fonction polynomiale 15-07-08 à 13:56

Même que 3$a_n\(n\\n-1\)X^{n-1}\ =\ a_n\times n\times X^{n-1 ^^

Posté par
Arctanre : Degré d'une fonction polynomiale 15-07-08 à 14:00

Woua, ben voila, j'aurais du séparer mon binome et le calculer à part pour en arriver là.
C'est très très clair grâce à toi, merci beaucoup!
Bonne apres midi!
Arctan

Posté par
gui_toure : Degré d'une fonction polynomiale 15-07-08 à 14:08

J'ai utilisé la méthode bourrine Heureux que ça t'ai aidé

merci bonne aprèm & bonnes vacs à toi aussi

Posté par
Arctanre : Degré d'une fonction polynomiale 16-07-08 à 11:39

Héhé, mais elle est très sympa cette méthode.
Petite question subsidiaire.. Ensuite je dois trouver que le noyau de l'appl Q est l'ens des fonctions polyn constantes.
Alosr bien sûr j'écris, si P dans ensemble des fonctions polys,
P Ker(Q) P(x+1)-P(x)=0 P(x)=P(x+1).
Mais ça, ça me donne P constante sur l'intervalle [x,x+1].. Pas que P est polynomiale constante..
Qqn peut m'aider à nouveau ? Je ne veux pas qu'on le fasse pour moi mais qu'on me lance une piste, une idée.. Merci infiniment

Posté par
Arctanre : Degré d'une fonction polynomiale 16-07-08 à 13:58

Re
J'ai essayé de repartir du résultat trouvé avec guitou, en disant
P Ker(Q)= ak (i parmi k)X^i =0 et d'exprimer tout ça en disant qu'un polynome est nul ssi tous ses coefficients sont nuls, mais je n'aboutis à rien, et surtout pas au fait que P est alors de degré 0...
Pouvez vous m'aider?
Merci et bonne après midi

Posté par
infophilere : Degré d'une fonction polynomiale 16-07-08 à 14:09

Exercice 26

Posté par
Arctanre : Degré d'une fonction polynomiale 16-07-08 à 14:19

Ah, merci infophile !
Une petite question, on truove bien donc que tous les coefficients sont nuls... Ca ne veut pas dire que le noyau est réduit au polynome nul ?

Posté par
Arctanre : Degré d'une fonction polynomiale 16-07-08 à 14:21

Ah, non !
Tous, sauf le premier a_0 .. C'est bien ça ?
J'ai compris, je vais pouvoir continuer, merci

Posté par
infophilere : Degré d'une fonction polynomiale 16-07-08 à 14:23

C'est bien ça

Citation :
Ensuite je dois trouver que le noyau de l'appl Q est l'ens des fonctions polyn constantes.


C'est chose faite

Posté par
Arctanre : Degré d'une fonction polynomiale 16-07-08 à 14:29

Oui, merci beaucoup
Je vais regarder les autres questions en + comme ça a l'air d'etre un classique..
Bonne journée à toi.

Posté par
infophilere : Degré d'une fonction polynomiale 16-07-08 à 14:40

Merci, à toi aussi

Posté par
Arctanre : Degré d'une fonction polynomiale 17-07-08 à 11:38

Me revoila, toujours sur ces histoires (un peu en pointillé, je travaille tout Juillet )
Dans l'exercice qu'infophile m'a indiqué, ils demandent de trouver l'Image mais elle n'est pas résolue (sûremetn qeu pour eux c'est évident =D)
Alors j'ai essayé
Je pense que Im(delta)= E_n-1 {ensemble des fonctions polynomiales de degrés inf ou égal à n-1 (car c'est l'ensemble d'arrivée, si P est de degré n)}

Donc l'implication Q Im(delta) Q E_n-1 est évidente..
Mais ensuite, je prends réciproquement Q E_n-1, je dois bien trouver qu'il existe P E_ n tel que Delta(P)=Q .. ? Comment puis-je construire ça?
J'ai tjs eu trop de mal ac la détermination Ker et Im, autant profiter des vacs pr mettre tout ça au clair..
Merci de votre aide, et bonne journée!

Posté par
Camélia Correcteurre : Degré d'une fonction polynomiale 17-07-08 à 17:18

Bonjour

Tu sais que dim(Im )+dim(Ker()=n+1. Comme la dimension du noyau est évidemment 1, la dimension de l'image est n; et tu sais que l'image est contenue dans En-1 qui est de dimension n.


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