Niveau Maths sup

demande

Posté par
hafidi 21-09-11 à 00:40

s'il vous plait j'ai besoin d'aide comment je peux résourdre
montrer par récurrence que (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+....+(4n-1)=3n²

Posté par re : demande 21-09-11 à 01:36

Bonsoir,

Tout est dit, il s'agit d'une application du raisonnement par récurrence.
La propriété à montrer est $P_n: (2n+1)+(2n+3)+\cdots+(2n+2n-1)=\sum_{k=1}^n (2n+2k-1)=3n^2 , \qquad n\geq 1$ .
(Je vais utiliser le symbole afin de compacter l'écriture, j'espère que ça ne te gène pas. Sinon, prends le temps de réécrire toute la somme avec les $\cdots$ .)

Intialisation : Montrons $P_1$ .
$\sum_{k=1}^1 2+2k-1=2+2-1=3=3\times 1^2$ d'où $P_1$ .

Hérédité : Montrons que $P_n\Rightarrow P_{n+1}$ .
L'idée est d'employer un changement d'indice : $\sum_{k=1}^{n+1} (2n+2k+1)=\sum_{k=2}^{n+2}(2n+2k-1)=\cdots$
Utilise ensuite le fait que $P_n$ est vraie pour conclure.

Ps : Tu remarqueras au passage qu'une démonstration par récurrence n'est pas nécessaire si tu connais la somme des entiers 1+2+...+n
puisque $\sum_{k=1}^n (2n+2k-1)=\sum_{k=1}^n 2n+ 2\sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n1 = 2n^2+2(\sum_{k=1}^n k) - n$ .

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