Bonjour,
la demonstration n'est pas difficile il suffit d'ecrire.

Comprendre la notion est plus important, cela signfie que ton espace E est "completement determiné" par F et G, se donner un vecteur x de E c'est equivalent a se donner ses deux projections sur F et G.

Merci,
je n'ai pas trés bien compris..., j'ai du mal avec ce chapitre, c'est assez subtile, est ce que vous pouvez plus détailler les explication svp. Merci

Ben, d'un point d'un vue plus conceptuel cela veut dire que E est isomorphe a l'ensemble des couples (f,g) avec f dans F et g dans G.
D'un point de vue geometrique cela signifie que tu prends tes deux espaces ils sont "independant dans l'espace" par exemple dans R^3 tu peux prendre un plan et une droite non contenue dans le plan alors tout vecteur de l'espace s'exprime comme somme d'un vecteur du plan et d'un vecteur de la droit.

Tu peux regarder dans l'article somme directe sur wiki si tu trouves ton bonheur.

Bonjour

déjà, F+G c'est l'ensemble de tous les vecteurs somme : f + g qu'on peut faire avec un f dans F et un g dans G

donc dire "E = F + G", c'est dire que tout vecteur de E peut s'écrire f + g avec f dans F et g dans G.

reste à vérifier que la condition F inter G (il y a une erreur de frappe dans ton énoncé ) réduit au vecteur nul assure l'unicité et réciproquement

Supposons F inter G = {0} : si on avait x = f + g = f' + g', on aurait x - f' - g = f - f' = g' - g
or f - f' est dans F et g' - g est dans G : le vecteur x - f' - g serait donc à la fois dans F et dans G : il serait nul. donc f - f' = g' - g = 0, donc f = f' et g = g' : la décomposition en somme est unique

Réciproquement, supposons la décomposition en somme unique.
s'il y avait un x commun à F et G, on pourrait écrire x = x + 0 (x dans F, 0 dans G) = 0 + x (0 dans F, x dans G). La décomposition de ce x devant être unique, c'est que les deux écritures sont identiques, donc que x = 0 : F inter G se réduit au vecteur nul.

Merci beaucoup