Bonjour,
Pour la reciproque c'est le théorème du rang (ou le fait que tout supplémentaire du noyau soit isomorphe à l'image si tu es en dimension infinie)...ou si tu veux la faire à la main montre que si tu prends un vecteur qui n'est pas dans le noyau alors il est en somme directe avec le noyau.

quand tu dis il est en somme direct avec le noyau tu veux dire l'espace engendrait par ce vecteur est en somme direct avec le noyau dans E c'est bien ca?

Oui

bon tu va dire que jsuis un gro relou mais j'y arrive toujours pas

j'ai poser g : E K tel que F est le noyau de g.
Soit alors a E tel que g(a) 0_K (il existe car il est dit dans l'enonce que g est une forme lineaire non nulle) donc a F ce qui implique que :

G = vect(a) F = 0_E ce qui implique que F et G sont en somme direct dans F + G...

Mais comment montrer que F + G = E?!

Prends x dans E, et a un vecteur qui n'est pas dans F tel que <g,a> non nul, alors on peut supposer que <g,a>=1, dans ce cas ecrit que x=<g,x>a-<g,x>a+x

Avec <g,x>a qui est dans Vect(a) et x-<g,x>a qui est dans F

<g,a>  represente g(a)?!

Oui (dsl si tu ne connais pas cette notation je t'encourage néanmoins vivement a l'utiliser elle est tres pratique)

ok jpense avoir compris  mais c'est quand mm compliquer a trouver comme demo je trouve ^^

surtout la supposition g(a) = 1

merci pour ton aide

Tu peux la retrouver facilement par analyse synthèse, si ton vecteur x s'écrit u+ma avec u dans F, alors applique g a ce truc et tu obtient que m=<g,x>/<g,a> et donc u =x-ma, si tu prend en plus <g,a>=1 alors le dénominateur disparait.