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démonstration dérivée fraction rationnelle

Posté par
flipper 26-10-08 à 17:55

Bonjour,
j'ai une démonstration à faire sur la dérivée d'une fraction rationnelle :
soit F = A/B K(X)
montrer que la dérivée de F ne dépent pas du choix des représentants
c'est à dire, si F=A/B=C/D alors A'B-AB'/B² = C'D-CD'/D²

je n'ai aucune idée pour cette démonstration, et c'est le genre de question de cours qu'on peut nous demander pour les partiels.
Merci de votre aide !!

Posté par
tringlaridore : démonstration dérivée fraction rationnelle 26-10-08 à 18:02

Bonjour,

J'utiliserais plutôt la linéarité de la dérivation pour me ramener au cas d'une fraction rationelle de dérivée nulle (plutôt que la méthode brute que tu présentes)

Posté par
flipperre : démonstration dérivée fraction rationnelle 26-10-08 à 18:18

on doit partir du fait que F=A/B=C/D AD=BC A'D+AD'=B'C+BC'
mais je ne vois pas trop comment continuer ...

Posté par
tringlaridore : démonstration dérivée fraction rationnelle 26-10-08 à 21:45

Je le voyais plutôt comme ça... Supposons que A/B = C/D, c'est-à-dire AD = BC.

Montrer que :
\\ \left( \frac{A}{B} \right)^' = \left( \frac{C}{D}\right)^' \\

est équivalent, par linéarité de la dérivation, à montrer que :
\\ \left( \frac{AD - BC}{BD} \right)^' = 0 \\

Et ceci est vrai car AD = BC (par hyptohèse).


Sinon, avec ton début :
\\ \frac{A^'B - AB^'}{B^2} \\ = \frac{(A^'C)(BC) - (AC)(B^'C)}{B^2C^2} \\ = \frac{(A^'C)(AD) - (AC)(A^'D + AD^' - BC^')}{A^2D^2} \\ = \frac{(BC)AC^' - A^2CD^'}{A^2D^2} \\ = \frac{(AD)AC^' - A^2CD^'}{A^2D^2} \\ = \frac{C^'D - CD^'}{D^2} \\

... mais on y comprend rien !

première ligne : multiplication en haut et en bas par C^2
deuxième ligne : on utilise ton égalité A^'D + AD^' =B^'C + BC^' ainsi que AD = BC
troisième ligne : on simplifie le numérateur
quatrième ligne : on réutilise AD = BC
cinquième ligne : on simplifie par A^2


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