Je reecris le debut (erreur de Latex) je cherche les unites de , et je dois montrer que c'est

Salut,


tous les éléments de sont des unités, ou tu prends simplement ces unités?

Pardon j'ai oublié une etoile...Je prends tous les elements de

En d'autres termes je veux montrer que toute unité de Z[zeta] s'ecrit ou epsilon est une unité de

C'est le lemme de Kummer qui sert dans la démonstration de Fermat pour les premiers réguliers.

Tu es sûr qu'il y a une démo élémentaire?

Je veux dire en gros le début c'est tu prends une unité u et tu regardes qui est une unité dont tous les conjugués sont de module 1 et la t'utilises le lemme de Kronecker pour dire que c'est une racine de l'unité. La suite de la démo n'utilise pas de gros arguments.

Il existerait une démonstration qui contourne ceci?

Oui c'est comme ça que je volais le demontrer...L'ennui c'est que je suis en train de faire une correction des exos du bouquin de neukirch (algebraic number theory), et il pose ca comme exercice juste apres le theorème des unites de Dirichlet...et surtout avant le chapitre corps cyclotomiques...A ce stade du bouquin on ne sait pas encore quel est l'anneau des entiers de Q[zeta].
Il ne donne meme pas di'ndication (aors qu'il en donne toujours sur les questions dures) donc je pense qu'il y a un truc elementaire

Bref, je sais pas....

Oui mais la démo du théoreme des unités te donne le lemme de Kronecker au début. Un élément du noyau du morphisme logarithmique est un élément dont tous les conjugués sont de module 1 et tu montres que le noyau  est constitué des racines de l'unité de ton corps de nombres.

A priori tu n'as pas besoin de connaitre la structure de l'anneau des entiers du corps cyclotomique pour faire ceci.

D'ailleurs tiens vu qu'on est la dedans, est ce que dans Neukirch il fait la preuve pour un p pas forcément premier de l'anneau des entiers d'un corps cyclotomique?

Ben j'ai pensé faire ça aussi, en montrant que si l'on prend un unité de Z[zeta], et qu'on la divise par son conjugué complexe, alors tous ses conjugues galoisiens, sont de module 1, donc elle est dans le noyau du plongement log, mais l'ennui comme je l'ai dit c'est qu'on ne sait  pas encore que Z[zeta] est l'anneau des entiers de Q[zeta]...et donc je ne peux me servir du thoerème de Dirichlet pour dire carracteriser le noyau du plongement log...de plus j'utilise que Gal(Q[zeta]/Q) est abélien...j'aimerai bien m'en passer...

A fait oui Neukirch fait la preuve de l'anneau des entiers dans le cas general me semble-t-il sela dit on peut prouver facilement le resultat sur les localisés...c'est bien souvent suffisant...

Ce bouquin est vraiment tres bien (d'ou le fait que je tape les exos en TEX) sauf je trouve le traitement de la theorie de Minkowski et le debut de la theorie du corps de classe...qui est faite de manière tres generale je trouve...

Ah mais en fait je suis bete on a pas besoi de savoir que l'anneau des entiers est Z[zeta], vu que zeta est entier l'anneau contient Z[zeta] et ca suffit pour conclure... Cela dit j'utilise quand meme l'argument abelien...bon je m'en remettrai

Ok en fait je viens seulement de comprendre que tu cherchais les unités de et pas de .

Mais bon on ne connait certes pas l'anneau des entiers de mais on sait au moins que est inclus dedans.

Ainsi une unité de sera une unité de 0k et donc dans le noyau du morphisme logarithmique.

Bon t'as fait la remarque avant moi

J'irai voir à l'occasion je connais pas la preuve dans le cas général.