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démonstration maths
Bonsoir
je cherche à montrer qu'en dimension finie on a
u orthogonal équivaut à (tA)A=In équivaut à { A inversible et A-1=tA }
avec u un endomorphisme et A sa matrice dans une base orthonormale
ce sont les parties 1 et 3 qui me posent probleme
il est aisé en effet de montrer que (3) entraine (2)
mais je ne vois pas comment démontrer le reste....
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter
2 donne 3
si tAA=In
alors A est injectif donc A est bij a cause des dimension et donc admet un inverse
En composant l egalite a droite par A-1 on trouve ce que l'on veut
Bonsoir,
Montrons que 1<=>2:
Notons la base orthonormale considérée:
Les colonnes de A sont les vecteurs colonnes :
- Donc si
et
pour
.
Donc est une base orthonormale de
, donc
est une isométrie vectorielle.
- si est une isométrie, alors
est une base orthonormale de
, et donc
et
pour i\neq j, soit
.
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