Bonjour,
Je suis bloquer sur un exercice et je ne sais vraiment pas comment le résoudre est-ce que vous pouvez m'aider s'il vous plaît:
Soit M une matrice carrée, non nul d'ordre n Tels que A+B=In
Soit M une matrice carrée d'ordre n telle qu'il existe de réel non nul est distinct, ¥ et u tels que: M=¥A+uB et M^2=¥^2A+u^2B
1_Montrer que (M-¥In)(M-uIn)=(M-uIn)(M-¥In)=0n
2_en déduire que AB=BA=0n et A^2=A et B^2=B
3_Demontrer que pour tout p qui appartient à N, on a M^p=¥^pA+u^pB
Merci d'avance
salut
pourrais-tu écrire les expressions avec des symboles /lettres plus simples (l'alphabet latin compte 26 lettres ... largement suffisant)
Oui désolé ¥ représente alpha et le u représente upsilon comme je ne trouver pas la lettre je l'es faite avec celui là
et pourquoi t'embêtes-tu avec des lettres grecques ?
1/ ben calcule tout simplement (M - aI)(M - bI)
Nan sa ne change rien mais je n'arrive pas à simplifier quand je fais le calcul.J'ai d'abord remplacer I par A+B car dans l'énoncé il y a écrit que I=A+B puis j'ai aussi remplacer M par λA+uB car il y a écrit que M= λA+uB puis j'ai développer l'expression ce qui me donne:
λA^2+uB-2 λAuB-λAu+ λuB+ λu j'ai aussi simplifier les I car I=1
Mais je suis bloquer ici car je ne sais pas comment cela peut me faire 0 (matrice nul)
Salut désolé mais je ne comprend pas comment cela peut faire 0.Et quand on développe M^2 on ne devrait pas faire une identite remarquable?
tu dois savoir quand même que le produit de deux matrices n'est as commutatif : en général AB BA
donc quand on développe (aA + bB)^2 ça donne ce que j'ai écrit
et ensuite voir la question 2/
D?accord merci j?ai réussi la question 1:
Mais pour la question 2 je ne vois pas comment on peut déduire AB=BA=O et que A^2=0 B^2=0
Si les matrices en général ne peuvent pas commuter?
merci de faire un peu attention à l'orthographe
Salut j'ai remplacer M par aA+bB et I par A+B j'ai développer l'expression et sa m'a donner: (bB-aB)(aA-bA) puis j'ai re développer mais je suis bloquer à cette étape je ne sais plus quoi faire:2abAB-b^2BA-a^2A
ton idée est bonne mais tu as oublié quelque chose dans l'énoncé (et qu'on n'a pas fait puisque c'est la même chose) :
donc en remplaçant on obtient
or que sait-on sur a et b ?
et de plus
ce qui te permet de prouver la fin de la question /
Je crois que j'ai compris donc on obtiens
aAbB=bBaA or a et b sont 2 réels non nuls et distinct qui n'affectent pas le produit des deux matrices comutatifs donc on peut écrire AB=BA=0 comme on la démontrer à la question 1.
Mais je ne vois pas comment sa peut me prouver que A^2=A
J'ai compris il faut que M^2=M mais quand j'essaye de le résoudre je n'arrive pas:
J'ai développer: a^2A^2+abAB+abBA+b^2B^2
J'aimerais faire apparaître A+B facteur de aA+bB pour le simplifier ce qui fera 1*M mais je ne pense pas que c'est possible.
Oui c'est vraix mais si on fait sa sa me donne toujours:
a^2A^2+b^2B^2 qui nous donne M^2 en factorisant
A oui d'accord désolé, vu que M^2=a^2A^2+b^2B^2
Mais que dans l'énoncé on nous dit que c'est égal à
a^2A+b^2B on peut en déduire que A^2=A et B^2=B.
J'ai réussi la question 3 en faisant la recurence merci beaucoup je vien de comprendre j'ai juste une dernière question est ce que pour la question 2 la justification que j'ai donner et correcte
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