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démonstration par récurrence dérivée nieme de ln(1+x)
bonsoir je refais mon devoir de math et il y a un exercice que je n'ai même pas touché le jour du contrôle car je ne me souviens pas bien des démonstrations par récurrence de plus j'avais du mal à les faire dans l'enseignement secondaire. J'aurais besoin que l'on me guide svp car je ne sais pas par où commencer (mise à par quil y a 3étapes: initialisation héredité conclusion)
énoncé:
on considère la fonction f définie par: f(x) =ln(1+x)
démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que sa dérivée nième est donné par la formule:
fn(x)=(-1)n-1
merci.
Initialisation : montrer que c'est vrai pour n=1
Heredite : montrer que si c'est vrai pour n>=1, alors c'est vrai pour n+1
Et c'est fini
Essaie deja de voir si c'est vrai pour n=1
ce que jai fait:
f(x)=ln(1+x)
n
* fn(x)=(-1)n-1
initialisation: pour n=1
f^1 (x)=(-1)0
= 1
et f'(x)= (ln(1+x))'=
donc la proposition au rang 1 est vraie
hérédité: supposons que la proposition soit vraie pr un certain rang k+1 où k (si je me souviens bien de la phrase)
fk+1(x)=(-1)k+1-1
=(-1)^k
je pense qu'apres je devrais arriver à dire que c'est égal à fk*f' qui est bien équivalent de fk+1
mais je narrive pas. je sais que (1+x)k+1=(1+x)n *(1+x) ms apres je bloque
Euh, non f(n)(x) c'est la dérivée nieme de f, il n'y a pas de produit la dedans
Tu dois partir de la formule de f(n)(x), la dériver pour trouver f(n+1)(x)
et voir si tu retombes sur la bonne formule
d'accord jai fait autre chose ça marche ou pas ? :
je garde ce que jai fait en haut
hérédité: supposons que la proposition soit vraie pr un certain rang k+1 où k (si je me souviens bien de la phrase)
fk+1(x)=(-1)k
et si je dérive fk on a (fk(x))'=fk+1(x)
on part de fk(x) on dit que u=(-1)k+1(k-1)!
u'=0
v=(1+x)^k
v'=n(1+x)k-1
fk+1(x)=
en simplifiant par (-1) on retrouve bien la citation (si je n'ai pas fait derreur de calcul). est ce que mon raisonnement est bon? si c'est pas ça que je devais faire je ne vois pas comment faire...
fk(x)=(-1)k-1
si je la dérive (afin d'avoir fk+1(x) si jai bien compris)
jobtiens en prenant u=(-1)k-1 (k-1)!
u'=0 car u est contant
v=(1+x)^k
v'=k(1+x)k-1
en utilisant la formule de la derivée d'un quotient:
soit fk(x)'=[0(1+x)^k - k(1+x)k-1(-1)k-1 (k-1)! )]/((1+x)^k)²
=[0-k!(-1)k-1(1+x)k(1+x)-1] / (1+x)2k
=[-k!(-1)k-1] / [(1+x)k(1+x)]
=[-k!(-1)k-1] / (1+x)k+1
=[(-1)k! (-1)k] / [(1+x)k+1(-1)]
puis on peut simplifier les (-1)
==[k! (-1)k]/ [(1+x)k+1]
=fk+1
si c'est pas ça peux tu me dire ce que je dois faire ou me le montrer stp?car là je sature je sais plus comment faire
merci pour tes conseils 
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