bonsoir je refais mon devoir de math et il y a un exercice que je n'ai même pas touché le jour du contrôle car je ne me souviens pas bien des démonstrations par récurrence de plus j'avais du mal à les faire dans l'enseignement secondaire. J'aurais besoin que l'on me guide svp car je ne sais pas par où commencer (mise à par quil y a 3étapes: initialisation héredité conclusion)
énoncé:
on considère la fonction f définie par: f(x) =ln(1+x)
démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que sa dérivée nième est donné par la formule:
fn(x)=(-1)n-1
merci.
Initialisation : montrer que c'est vrai pour n=1
Heredite : montrer que si c'est vrai pour n>=1, alors c'est vrai pour n+1
Et c'est fini
Essaie deja de voir si c'est vrai pour n=1
ce que jai fait:
f(x)=ln(1+x)
n* fn(x)=(-1)n-1
initialisation: pour n=1
f^1 (x)=(-1)0
= 1
et f'(x)= (ln(1+x))'=
donc la proposition au rang 1 est vraie
hérédité: supposons que la proposition soit vraie pr un certain rang k+1 où k (si je me souviens bien de la phrase)
fk+1(x)=(-1)k+1-1
=(-1)^k
je pense qu'apres je devrais arriver à dire que c'est égal à fk*f' qui est bien équivalent de fk+1
mais je narrive pas. je sais que (1+x)k+1=(1+x)n *(1+x) ms apres je bloque
Euh, non f(n)(x) c'est la dérivée nieme de f, il n'y a pas de produit la dedans
Tu dois partir de la formule de f(n)(x), la dériver pour trouver f(n+1)(x)
et voir si tu retombes sur la bonne formule
d'accord jai fait autre chose ça marche ou pas ? :
je garde ce que jai fait en haut
fk(x)=(-1)k-1
si je la dérive (afin d'avoir fk+1(x) si jai bien compris)
jobtiens en prenant u=(-1)k-1 (k-1)!
u'=0 car u est contant
v=(1+x)^k
v'=k(1+x)k-1
en utilisant la formule de la derivée d'un quotient:
soit fk(x)'=[0(1+x)^k - k(1+x)k-1(-1)k-1 (k-1)! )]/((1+x)^k)²
=[0-k!(-1)k-1(1+x)k(1+x)-1] / (1+x)2k
=[-k!(-1)k-1] / [(1+x)k(1+x)]
=[-k!(-1)k-1] / (1+x)k+1
=[(-1)k! (-1)k] / [(1+x)k+1(-1)]
puis on peut simplifier les (-1)
==[k! (-1)k]/ [(1+x)k+1]
=fk+1
si c'est pas ça peux tu me dire ce que je dois faire ou me le montrer stp?car là je sature je sais plus comment faire
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :