Bonjour,

L'existence découle de la définition même de la somme de deux s.e.v.
L'unicité va découler du fait que la somme est directe. Tu suppose qu'il existe deux paires (x1,y1) et (x2,y2) telles que :
x = x1 + y1
x = x2 + y2
Par différence, tu obtiens
x1 - x2 = y2 - y1
Mais x1 - x2 appartient à E, y2 - y1 appartient à F, l'intersection de E et F est {0}, donc
x1 - x2 = y2 - y1 = 0
donc
x1 = x2
y1 = y2

merci pour ta réponse LeHibou!

si je comprend bien, tu bases la démonstration sur le fait que FG F+G et FG={0}, et tu n'utilise que FG={0} ? c'est à peu près ca ?

dans ce que je dois démontrer, il y a équivalence, or tu n'a démontré que dans un seul sens? il faut aussi démontrer la réciproque non ? (si c'est le cas, j'ai trouvé comment faire !)

merci de m'apporter quelques autres précisions !

Bonsoir,

Tu as raison, il faut également montrer la réciproque, j'ai bien une idée mais ça m'intéresserait de connaître la tienne en premier

bonsoir,

pour la réciproque je démontre par contraposé : c'est à dire FG{0} non unicité du couple (y, z) tel que x=y+z

alors : FG{0} aFG tel que a0
donc aF et aG
on pose y1=y+a F
et z1=z-a G

y1+z1=(y+a)+(z-a)=y+z=x il n'y a donc pas unicité du couple

la réciproque est donc démontrée.

qu'en penses-tu ?

J'en pense que c'est exactement ce que je t'aurais proposé si tu m'avais demandé... Bravo !