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démonstration sous-espaces vectoriels
Bonjour,
dans mon cours on donne cette définition pour un sous-espace vectoriel :
Soit E un K-espace vectoriel (ev). on dit qu'une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E (sev) si les propriétés suivantes sont satisfaites :
1) OE
F
2) 
K, x, y F, x+yF
je dois ensuite démontrer cette proposition :
F est un sev de E si et seulement si :
1) F
2) x,yF, x+yF
3) K, xF, xF
je pensais partir de la propriété 2 de la définition ( K, x, y F, x+yF) et utiliser =1 pour démontrer la proposition 2, puis utiliser y=0E pour démontrer la proposition 3 (en effet, par propriété x + 0E = x)
Qu'en pensez-vous ?
Cependant, je ne vois pas trop comment démontrer que F doit être différent de . De plus, si et seulement si est bien une relation d'équivalence ? Faut-il démontrer la proposition réciproquement?
merci de votre aide!
Pour démontrer que F est différent de il te suffit d'utiliser la première propriété de ta première définition.
Sinon pour le "si et seulement si" c'est bien une équivalence qu'il faut montrer donc tu dois également faire la réciproque oui. 
Bonsoir.
Il faut maintenant prouver que :
F sev => O F (par a)) => F
et => x+y F (par b) avec = 1)
et => .x F (par b) avec y = O)
Donc (I) => (II)
Réciproque. On suppose (II).
b') avec y = -x => O F
b') et c') => .x + y F
On a donc bien les propriétés a) et b). Donc (II) => F sev.
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