Bonsoir,


1° tu considères une partie réelle E majorée non vide de .

Tu peux donc prendre un élément de E et un majorant de E.

Tu construis alors par récurrence:

une suite croissante d'éléments de E,

une suite décroissante de majorants de E,

avec pour tout n.


2° Tu montres ensuite que est une suite de Cauchy, et donc convergente d'après le critère de Cauchy et admet une limite .

3° Tu montres ensuite que tend vers a.

4° Tu montres enfin que a est la borne supérieure de E cherchée (ie le plus petit des majorants)

Attention, il me semble qu'il y a une dicussion de philosophie mathématique à propos du théorème de la borne sup car la question est de savoir : "on démontre le théorème de la borne sup en admettant quelles propriétés de R ?"

Par exemple, romu utilist le critère de Cauchy, mais la démonstration du  critère de Cauchy n'utilise-t-elle pas le théorème de la borne sup ?

Je ne suis pas capable d'exposer précisément ce problème, mais je sais qu'il y a un problème de ce genre... "on démontre le théorème de la borne sup en admettant quelles propriétés de R ?"

c'est vrai je me suis posé la question aussi, pour ma part je suis parti du fait que est construit à partir des suites de Cauchy.

Bonjour

Tout le monde a raison! En fait si on prend un corps commutatif totalement ordonné qui contient Q, le fait d'être complet (Cauchy) est équivalent à la propriété de la borne supérieure (et le dit corps "est" R)

Il y a beaucoup d'autres corps commutatif totalement ordonné qui contient Q que IR? Dans quel théorie on étudie ces corps?

Par exemple tous les corps de nombres... Q(2) et compagnie...

ah oui d'accord, je m'imaginais des corps qui contient IR

Ca c'est une autre histoire... Il y en a, mais sans relation d'ordre (R(T)) (les fractions rationnelles, ou avec d'autres problèmes...

ah oui c'est vrai les fractions rationnelles.

il suffit tout simplement de prendre A=[x.y]; le Sup c'est y
------------------------------------A=[x,y[; le Sup est y car si vous prendrez tell que <y vous trouverez que entre et y il se trouve un nombre (par ex (+y)/2) entre eux qui est aproximative a y et diff de y c'est comme la limite