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démontrer q'une fonction est injective ou surjective

Posté par
Reinette68
04-11-09 à 09:48

Bonjour,

Je voudrais savoir comment déterminer si une fonction est surjective ou injective. Malgré un apprentissage rigoureux de ma leçon je reste bloqué sur le chapitre des applications!
En clair comment démontrer si pour - f :  E -> E
                                     x -> 3x

la foction f(x) est surjective, injective ou les 2.
Je ne sais pas qu'elle méthode utiliser.
Merci beaucoup.

Posté par
blang
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 04-11-09 à 09:56

Bonjour

E désigne quel ensemble ? ?

- Pour montrer que f est injective, il faut démontrer que pour tout yE, l'équation d'inconnue xE : f(x)=y possède au plus une solution.
- Pour montrer que f est surjective, il faut démontrer que pour tout yE, l'équation d'inconnue xE : f(x)=y possède au moins une solution.
- Pour montrer que f est bijective, il faut démontrer que pour tout yE, l'équation d'inconnue xE : f(x)=y possède exactement une solution.

Posté par
Reinette68
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 04-11-09 à 15:12

Merci d'avoir répondu aussi vite.
Je connais ces définitions qui étaient dans mon cours. Je c'est comment démontrer qu'une fonction est bijective, mais je ne sais pas comment procéder pour les autres. J'ai les schémas dans la tête mais je ne parviens pas à appliquer cela concrètement.

Posté par
Reinette68
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 04-11-09 à 15:19

Je sais par exemple que selon la propriété d'une fonction injective, f(x)= f(y) => x=y
pour 3x peut on procéder comme cela:

f(x)=f(y)
2x=2x
x=(2x)/2
x=x

Cela ne me parait pas cohérent

Posté par
blang
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 04-11-09 à 15:34

Soit x et y deux réels.
(f(x)=y)(3x=y)(x=y/3).
Cela prouve que f: est bijective car pour tout y, l'équation d'inconnue x : f(x)=y possède y/3 comme unique solution.

Posté par
Reinette68
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 04-11-09 à 15:40

Merci beaucoup
Je voulais juste savoir la technique en réalité ma fonction c'est 2x mais je ne voulais pas demander une réponse sans la comprendre!
Je vois mieux maintenant! Cependant en oubliant que l'on me demande de prouver la surjectivité, la bijectivité et l'injectivité, comment prouver indépendement chaque affirmation.
Je veux dire comment rpouver simplement l'injectivité ou uniquement la surjectivité?
Mes questions sont idiotes mais meiux vaut que je comprenne avant ma prochaine kholle!

Posté par
blang
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 04-11-09 à 15:47

Schéma de démonstration pour l'injectivité :
Soit (x,y)2 tel que f(x)=f(y). On a 3x=3y d'où x=y. C'est tout.

Schéma de démonstration pour la surjectivité:
Soit y; montrons qu'il existe x tel que f(x)=y.
Analyse : f(x)=y 3x=y x=y/3.
Synthèse : on a bien f(y/3)=y.


Posté par
Reinette68
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 04-11-09 à 16:19

Encore une fois merci!
Cette fois je pense avoir totalement compris le principe! cela me parait beaucoup plus clair maintenant

Posté par
Reinette68
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 04-11-09 à 16:40

dernière vérification
pour g:  É -> É
pour x pair: g(x)= x/2

j'obtiens:

Soit ( x;y) É^2
tel que f(x)=f(y).
On a (x/2)=(y/2)
2x=2y
x=y
La fonction est injective

Soit y É montrons qu'il existe x É tel que y= f(x)
(x/2)=y
x=2y
f(2y)=y
La fonction est surjective

La fonction étant injective et surjective elle est donc bijective


Mon raisonnement vous semble t-il correct?

Posté par
blang
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 05-11-09 à 17:12

Oui, cela me semble correct

Posté par
Carlou33
démontrer q'une fonction est injective ou surjective 05-10-10 à 22:20

Bonjour. On considère l'application f : donnée par f(x) = x(x+1)(x-1). Dire si f est injective et/ou surjective.
1) f est injective ssi (x,y)2 tel que f(x)=f(y). On a x(x+1)(x-1)=y(y+1)(y-1) et donc là je sais plus quoi faire.

2) f est surjective ssi y, x tq y=f(x):
x(x+1)(x-1)=y et?

Posté par
Thesabreur
Démontrer qu'une fonction est injective / surjective 23-12-13 à 18:15

Bonjour,

Je reprends ce sujet car ma question est très proche de celle posée par mon prédécesseur (ais-je bien fait ?).

Je voulais juste savoir si on pouvait prouver l'injectivité d'une fonction en prouvant qu'elle était strictement monotone, et prouver la surjectivité d'une fonction en prouvant sa continuité sur l'ensemble correspondant... L'idée est-elle acceptable en 1ère année de licence ?

Posté par
idm
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 23-12-13 à 21:11

Bonjour tout le monde,
Je vois que tout le monde s'est désinscrit
Cher Thesabreur quel plaisir de te savoir toujours des notre
Pour répondre à ta question,

Pour l'injectivité: oui à condition qu'elle soit continue. Si elle n'est pas continue, c'est évidemment faux.

Pour la surjectivité: Là on tombe à l'eau et je te répond non. Mais par contre si elle est continue et strictement monotone sur [a,b], alors elle est surjective sur [f(a),f(b)] (si croissante) où [f(b),f(a)] (si décroissante).

Posté par
Thesabreur
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 24-12-13 à 00:34

Tout d'abord, je viens de m'inscrire, donc je suis plutôt un petit nouveau que "toujours des votres"...

Donc en gros, pour prouver la surjectivité d'une fonction il la faut continue et strictement monotone, et pour l'injectivité d'une fonction aussi. Donc ça revient à - pour simplifier - reprendre le théorème selon lequel une fonction est bijective si elle est continue et strictement monotone... il est juste impossible de séparer l'injection de la surjection si l'une des deux nécessités (continuité et monotonie) ne sont pas vraie.

Et bien merci pour la réponse !

Posté par
idm
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 24-12-13 à 10:15

Pour la surjectivité, oui, mais note bien que c'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Posté par
Thesabreur
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 24-12-13 à 15:06

D'accord, merci.

Posté par
Camélia Correcteur
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 24-12-13 à 15:38

Bonjour

Une fonction strictement monotone entre ensembles totalement ordonnés est injective!

Posté par
abdellah2222
etudier l'injectivité lorsque f est une applcation dans n 14-11-14 à 20:10

bonjour ,
je voudrais savoir  comment déterminer si une fonction est surjective ou injective lorsque f est une application de l'ensemble des entiers naturels de dans definie par f(n)=n/2 si n est pair et f(n)=(n-1)/2 si n est impair

Posté par
kybjm
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 14-11-14 à 20:29

Que valent f(2p) et f(2p + 1) ?

Posté par
lafol Moderateur
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 14-11-14 à 20:36

Bonsoir
calcule f(0) et f(1) : penses-tu que f soit injective ?
ensuite demande toi si n'importe quel entier naturel m peut se mettre sous la forme m = n/2 avec n pair, ou (n-1)/2 avec n impair, et selon la réponse, tu sauras si f est surjective ou non

Posté par
abdellah2222
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective 17-11-14 à 17:59

merci beaucoup pour la réponse

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