cherche un triplet (a,b,c) tel que au1+bu2+cu3=0
si tu montres qu'il n'existe que la solution (0,0,0), alors elle est libre et donc génératrice dans

Ok, merci !

il y a peu de chance que cela marche car c'est faux
ce que tu avais fait etait tres bien

je me retrouve avec (avec la méthode de Gauss)
x+2y+4z = v1
-3y-3z = -2v1+v2
0 = 2v1-v2+3v3
ce systeme n'a pas toujours de solution en x,y,z
il n'a des solutions que qd la condition .....je te laisse l'ecrire....est verifiée
ces vecteurs n'engendrent donc pas R^3 mais seulement les vecteurs qui verifient cette condition

apaugam : quelle assurance...

Dans un espace vectoriel de dimension finie n, une famille de n vecteurs libres est une base et donc est génératrice.
En fait, parmi les familles génératrices, les bases sont celles de cardinal minimum, c'est ce qu'on appelle justement la dimension de l'espace.

Ce qu'avait commencé sabotage était correct, mais l'interprétation en est plus difficile.

Je comprends que tu le laisses écrire la condition.

Soit une famille de vecteurs de .

Elle est génératrice si pour tout vecteur de , il existe une combinaison linéaire des vecteurs de la famille qui permette d'exprimer le vecteur

Pour prouver que la famille est génératrice, il suffit de prouver qu'on peut calculer un triplet de réels (a,b,c) tel que

Passons aux coordonnées
appelons les coordonnées de

Alors on doit pouvoir calculer (a,b,c) qui vérifie le système suivant :

Je préfère (a,b,c) plutôt que (x,y,z) qui induisent une confusion avec des coordonnées dans le repère naturel. En fait, si on trouve un tel triplet, il représentera les coordonnées de dans la nouvelle base.

Si elle était génératrice, on arriverait à exprimer , ,

Or ici, on arrive péniblement aux équations de sauvage, qui ne suffisent pas, et en poussant un peu plus loin, on arrive à



Interprétation :
on peut calculer 'a' et 'c' en fonction des coordonnées de MAIS AUSSI d'un paramètre 'b' non contraint : on peut donner n'importe quelle valeur à b, on trouvera 'a' et 'c' . MAIS, on a aussi une condition qui lie les coordonnées de : SEULS certains vecteurs peuvent être exprimés comme combinaison linéaire de la famille.

DONC cette famille n'est pas génératrice de l'espace vectoriel dans son ensemble.

EN FAIT on dit que cette famille est de rang 2 (seuls 2 vecteurs sur 3 forment une famille libre, mais non génératrice de , puisqu'ils ne sont que 2) et la condition sur les coordonnées de est l'équation du PLAN que cette famille génère.


Maintenant, ma méthode basée sur le théorème rappelé au début :
Dans un espace vectoriel de dimension finie n, une famille de n vecteurs libres est une base et donc est génératrice.

Si je montre que la famille est libre, j'aurai montré qu'elle est une base (puisque de dimension égale à celle de l'espace) et donc qu'elle est génératrice.
Inversement, si je montre qu'elle N'EST PAS libre, elle ne pourra être génératrice.

pour montrer qu'elle est libre, on recherchera les solutions en (a,b,c) de l'équation


ATTENTION : ce triplet (a,b,c) n'a rien à voir avec celui utilisé dans la méthode précédente

Passons aux coordonnées :
Cherchons alors à résoudre le système


et on trouve


Interprétation : il existe des triplets non nuls (a,b,c) pour lesquels

(par exemple : )

Donc la famille n'est pas libre, donc elle n'est pas génératrice.

apaugam affirme que ma méthode est fausse : elle est correcte et plus simple.
Celle de sauvage est correcte et plus délicate.

cordialement.

je n'ai pas dit que ta methode etait fausse mais simplement que c'était faux que la famille soit libre

la "resolution" du systeme est finie puisqu'il est echelonné
x+2y+4z = v1
-3y-3z = -2v1+v2
0 = 2v1-v2+3v3
il admet des solutions en x et y que l'on peut exprimer en fct de z (mais ce n'est pas utile de le faire) ssi 0 = 2v1-v2+3v3

tout simplement !

joker

Citation :
Dans un espace vectoriel de dimension finie n,
une famille de n vecteurs est libre elle est génératrice

tu n'avais pas ecrit si et seulement si mais

Psycho rigidité

peut etre ! peu m'importe
une demonstration doit etre correcte au final
meme si pour chercher on peut ecrire des tas de choses ds tous les sens

Ce que tu ne peux pas comprendre est que ma première intervention n'était pas une démonstration mais une indication. Le but n'est pas de servir la solution toute cuite mais de rafraichir la mémoire et faire réfléchir.

Ta propre intervention initiale n'est pas très reluisante dans le registre de la rigueur.

Mais je doute que mon point de vue t'atteigne, alors comme l'enjeu est nul, je vais te faire cette fleur :

tu es vraiment la meilleure.

Pour ma part, la discussion est close car stérile.

Bonjour à tous

Ne vous prenez pas le chou pour si peu ! Ce ne sont que des maths (je vais faire grincer des dents là ). Je pense que vous avez tous les deux raison :

¤ dhalte : tu as choisi de revenir à la définition d'une famille génératrice, et ça marche ! (même si, goût personnel, je n'aime pas montrer qu'une famille est génératrice en revenant à la déf, je m'arrange pour faire autrement)

¤ apaugam : effectivement le pivot de Gauss est la méthode qui marche à tous les coups, mais pas obligatoire

En conclusion : tout ira mieux quand notre ami sabotage saura calculer un déterminant

_{Ce n'est que mon petit avis}

tout à fait d"accord avec gui_tou
ce ne sont que des maths !
et il n'y a pas lieu de se fâcher pour cela

cependant l'interprétation du système c'est simplement la définition d'une famille génératrice qui peut se faire avec très peu de connaissance dès le début du cours d"algèbre linéaire et il nécessite très peu de calcul
alors qu'un déterminant nul nécessite beaucoup plus de connaissance pour en conclure que la famille est génératrice car il s'interprète directement plutot en terme de non liberté de la famille
De plus il ne peut être utilisé que si la famille comporte le même nombre de vecteurs que la dimension de l'espace