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Démontrer qu'une famille est une base (polynômes de Legendre)

Posté par
masterrr 22-02-09 à 16:36

Bonjour,

J'aimerais vos conseils pour répondre à la question suivante.

On considère les polynômes de Legendre définis par : 5$ \forall k \in \mathbb{N}, L_k=((X^2-1)^k)^(k).

Soit 5$ n \in \mathbb{N}, montrer que 5$ (L_0,L_1,...L_n) est une base de 5$ \mathbb{R}_n[X].

Alors comme 5$ \mathbb{R}_n[X] est de dimension 5$ n+1, il suffit de montrer que la famille est libre ou génératrice.

Quel est le plus "simple" à votre avis ? Ou pensez-vous à une autre méthode ?


Merci d'avance.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Démontrer qu'une famille est une base (polynômes de Legendr 22-02-09 à 16:43

Bonjour,

essaie de prouver que le degré de Lk est k, donc qu'on a une famille échelonnée en degrés de polynômes.
La famille est donc nécessairement génératrice:

tu peux prouver par récurrence que pour tout n, toute famille échelonnée en degrés de n+1 polynômes de degrés respectifs 0,1,...n est génératrice de Rn[X].

Posté par
masterrrre : Démontrer qu'une famille est une base (polynômes de Legendr 22-02-09 à 16:56

Bonjour Tigweg,

J'ai déjà montré que 5$ deg(L_k)=k.

C'est vrai que je n'avais pas pensé à utiliser le fait que l'on ait une famille échelonnée en degrés...

Après c'est un résultat de cours donc pas besoin de le redémontrer .


Merci bien ,
bonne fin d'après-midi.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Démontrer qu'une famille est une base (polynômes de Legendr 22-02-09 à 17:17

Avec plaisir masterrr
Bonne fin d'après-midi à toi aussi!


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