Bonjour,

On a

La formule étant admise pour le cas de deux ensembles (je suppose), tu peux le déduire pour trois et même n ensembles en union......

Bonjour

Ta formule est juste (enfin, il manque quelques card) la façon la plus convaincante de le dire, est de compter séparément les éléments qui sont dans un seul des ensembles, ou exactement dans deux ou dans les trois. Si on prend la somme des cardinaux, on a compté deux fois les éléments qui sont dans au moins deux ensembles donc on enlève 1 fois les cardinaux des intersections deux à deux, mais ce faisant on a enlevé trop de fois ceux qui sont dans l'intersection des trois!

Maintenant, si auparavant il étaot question de fonctions caractéristiques, il y a plus élégant!

Woups, oui en effet j'ai oublié les card au bout d'un moment
Eh bien je vais suivre vos conseils, je posterai peut-être ce que j'ai fait si je ne suis pas sûre de moi, histoire d'avoir des avis !
Merci bien, en tout cas !

Hum, j'ai vu dans un cours de maths sur Internet la formule que je dois retrouver, mais eux n'enlevaient qu'une fois , alors que moi, je l'ai soustrait deux fois... Est-ce une erreur de la part de ce cours ? Parce que ça ne me paraît pas logique...

De plus, j'ai quelques soucis pour démonter que est fini : je pensais le faire en prouvant d'abord que est fini, puis en nommant par exemple H ce dernier (pour plus de clarté), reprendre le même schéma de démonstration pour .
Pour ce qui est du schéma de démonstration, je voulais m'inspirer de celui qu'on a fait en cours : le prof a "démontré" que si E et F sont finis alors est fini et card(E \cup F)=card(E)+card(F)-card(E \cap F)[/tex], mais je ne vois pas en quoi il a démontré la première affirmation, je vous retranscris ce qu'il nous a donné :

"Posons . donc est fini. donc est fini. On a et donc "
et ensuite, il ne s'intéresse plus qu'au cardinal.

Est-ce que vous voyez à quel moment il a démontré que est fini ? Je me dis que peut-être que ce n'est pas écrit explicitement, mais que quelque chose le sous entend...

Sinon, auriez vous des idées pour démontrer cette formule ? Elle paraît assez évidente, je serai bien tentée d'utiliser un schéma, mais ça ne suffit sûrement pas !

Merci d'avance pour votre aide !

Finalement après vérification, en utilisant la méthode que j'ai proposée avant, je ne trouve pas le coefficient 2 (d'ailleurs je ne vois comment ça pourrait être un 2). J'ai pu me trompé mais ayant vérifié, j'ai croisé la formule sur le net sans le 2....et puis le calcul est relativement simple....

Mais a tu utilisé ce que je t'ai proposé? Car le calcul est assez simple pour obtenir la formule.

Pour ce qu'à mis ton prof, il démontre la formule des cardinaux pour deux ensembles. Mais ce texte ne me semble qu'appuyer la formule et ne pas dire directement que est fini. Tu es sûr qu'il n'a pas mis autre chose?

Ensuite pour revenir à la formule, vu que ton prof l'a établi pour 2 ensembles, tu le fais pour trois de la manière décrite plus haut et ça devrait aller tout seul....

Pour la formule, pensez vous que je puisse la démontrer en reprenant celle du prof, c'est à dire la démonstration concernant les ensembles E et F, et en posant à la fin que est l'ensemble G, puis refaire la même démonstration avec G et H ? Je suppose que techniquement c'est possible, mais pas forcément la façon la plus élégante de le faire...

Enfin, ce qui me pose problème, c'est surtout la démonstration "l'union de trois ensembles finis est un ensemble fini".
Je pense que partir du principe que le prof l'a "admise" pour deux ensembles, pour élargir à trois ensembles est carrément tiré par les cheveux... (Je suis sûre que ce que j'ai posté précédemment, c'est tout ce que j'avais à ce propos) J'ai cherché un peu partout, mais dans tous les cours de maths que j'ai trouvés, le cas pour deux ensembles n'est jamais démontré, il n'est même pas cité la plupart du temps !
Je vais continuer à chercher, en revenant à la définition d'un ensemble fini, c'est à dire en utilisant la bijectivité, mais je ne suis vraiment pas sûre de m'en sortir comme ça, alors si vous avez des idées, merci de m'en faire part !

Rebonjour

Il n'y a pas de 2 dans la formule! je ne l'avais pas remarqué.

La meilleure méthode pour la finitude est de commencer par 2 ensembles. La formule donnée prouve bien que ce n'est pas fini. Sinon, rien de tel que la récurrence sur le cardinal. Soit E de cardinal n. Si F est de cardinal 1, est de cardinal n ou n+1, donc fini (pour tout n). Supposons que soit fini si card(F)=m. Soit F' de cardinal m+1. Alors on peut écrire F' comme réunion d'un ensemble F de cardinal m et d'un singleton . Mais donc fini d'après ce qui précède.

Quant à la réunion de trois ensembles c'est immédiat par associativité!