Bonjour, voilà je recherche de l'aide, car je maîtrise mal un chapitre de mon cours : j'ai un exercice que je dois résoudre et j'aimerais savoir comment débuter, car je ne vois même pas comment commencer. J'ai essayé quelques petites démarches, mais sans vraiment rien trouver de concret. Voici l'énoncé :
"On considère l'ensemble à n éléments In {0,1,2...n}. On appelle Pn la famille des sous ensembles de In, qui ne contienne jamais deux entiers consécutifs et f(n) le cardinal de Pn.
2. Montrez que f(n)=f(n-1)+f(n-2)
3. Pour quelles valeurs du réel r la suite Un = r^n satisfait-elle l'équation de récurrence Un = u(n-1)+u(n-2)
4. Identifiez r1, r2, a1, a2 tels que la suite Vn= a1*r1^n+a2*r2^n satisfasse l'équation de récurrence Vn=V(n-1)+V(n-2) ainsi que v1=f(1) et v2=f(2)
5. En déduire une expression exacte de f(n).

Pour la question 2, je voulais le démontrer par récurrence, mais aucun moyen d'aboutir à quelque chose, je reste bêtement bloqué à f(n)=card Pn, il faudrait alors trouver Pn = Pn-1 + Pn-2 mais je n'arrive vraiment pas à voir!
Pour la question 3 j'ai trouvé r1= (1+sqrt(5))/2 et r2= (1-sqrt5)/2
# Pour la question 4 j'ai donc essayé de procéder de la même manière qu'à la question précédente, mais on aboutit à a1(r1^n + r1^(n-1) + r1^(n-2)) + a2(r2^n + r2^(n-1) + r2^(n-2)) = 0 ... que faut-il en faire? Fallait-il partir sur une autre méthode?

Merci de votre aide, c'est un chapitre que j'ai beaucoup de mal à maîtriser, et je galère sur quasi tous les exercices