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dérivation dans un anneau
bonsoir
voila je ne comprends pas la correction de cet exercice :
Soit (A,+,×) un anneau (qui n'est pas a priori supposé commutatif)
On note 0 et 1 les éléments neutres additif et multiplicatif de A .
Une application δ :A→A est appelée dérivation sur A si et seulement si, pour tout x,y ∈A on a les relations :
(1) 
(x+y)=(x)+(y)
(2) (xy)=x(y)+(x)y
je sais que (0)=(1)=0
voici la question soit x un élément de l'anneau soit n
*
Soit x1, x2,..., xn une liste d'éléments de A .
Exprimer (x1x2...xn) en fonction des xk et des (xk)
la réponse est : 
(k=1 à n) x1...xk-1(xk)xk+1...xn
j'espère que vous pourrez m'éclairer
Bonsoir 
,
On peut commencer par regarder les deux premiers :
Ce qui nous suggère la formule que tu as écrite (somme de ...). Reste à la prouver, ça se fait par récurrence sur n.
L'initialisation est facile, comme toujours. Hérédité :
d(x1...xnxn+1)
=d(x1...xn)xn+1+(x1...xn)d(xn+1)
=[
(k=1 à n)x1...xk-1d(xk)xk+1...xn]xn+1+x1...xnd(xn+1)
=((k=1 à n)x1...xk-1d(xk)xk+1...xnxn+1)+x1...xnd(xn+1)
=(k=1 à n+1) x1...xk-1d(xk)xk+1...xnxn+1
PS : Quel exo magnifique 
Eh bien, apparemment, dans chaque terme les xi apparaissent tous, par ordre croissant, sauf un qui est d(...). (Et il y a autant de termes que de xi)
Est-ce que c'est le signe qui te gêne, peut-être ?
ah d'accord j'ai compris , mais j'ai une autre question est ce que on a :
d(x^3)=d(xxx)=(x*x)d(x)+xd(x)x+d(x)x*x ?
si on veut en déduire une relation au rang n c a d pr d(x^n) on l'intuite à partir d'un rang petit exemple n=3
là encore je bloque ou bien ma relation de départ n'est pas bonne
d(x^3)=d(xxx)=(x*x)d(x)+xd(x)x+d(x)x*x
Oui bien sûr, il suffit d'ailleurs d'appliquer la formule pour d(x1x2x3) avec x1=x2=x3=x. (c'est un cas particulier)
Pareil pour d(x^n).
Pas de pb, tes deux relations correspondent à la même somme ici (elles sont égales, mais 'dans l'ordre inverse' l'une de l'autre).
La première est du genre : xn-1d(x)+xn-2d(x)x+xn-3d(x)x2+ . . . +x2d(x)xn-3+xd(x)xn-2+d(x)xn-1
et la deuxième : d(x)xn-1+xd(x)xn-2+x2d(x)xn-3+ . . . +xn-3d(x)x2+xn-2d(x)x+xn-1d(x) : c'est la même, écrite dans l'ordre contraire (et l'ordre dans la somme n'a pas d'importance, le + étant commutatif).
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